[論文レビュー] An Introduction to Some Spaces of Interval Functions

Roumen Anguelov|ArXiv.org|Aug 2, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、実関数の古典的連続性を拡張するための、区間値関数における一般化された連続性概念—H連続性、D連続性、S連続性—を導入し、分析する。空間 ℋ_nf(Ω) におけるH連続なほぼ有限な区間関数の集合がDedekind順序完備であることが確立され、従来の連続関数空間における有界集合の上限と下限の欠落という限界が解消される。

ABSTRACT

The paper gives a brief account of the spaces of interval functions defined through the concepts of H-continuity, D-continuity and S-continuity. All three continuity concepts generalize the usual concept of continuity for real (point valued) functions. The properties of the functions in these new spaces are discussed and investigated, preserving essential properties of the usual continuous real functions being of primary interest. Various ways in which the spaces of H-continuous, D-continuous and S-continuous interval functions complement the spaces of continuous real functions are discussed.

研究の動機と目的

• 実関数の古典的連続性をH-、D-、S-連続性の概念を用いて区間値関数へ拡張すること。
• 連続実関数の集合に対して最小連続区間包絡が成立しない理由（C(Ω)におけるDedekind完備性の欠如に起因）を解消すること。
• 連続実関数の本質的性質を保つ順序完備な区間関数空間を構築すること。
• 点順序に関して、H連続なほぼ有限な区間関数の空間がDedekind順序完備であることを示すこと。
• 強固な区間関数空間を用いて、実解析、近似理論、偏微分方程式への応用のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 値が拡張実数直線 ℝ̄ = ℝ ∪ {±∞} 内の閉区間 [a̲, a̅] である区間関数 f: Ω → Iℝ̄ を定義する。
• H連続性（下限関数と上限関数の上半連続性および下半連続性による定義）、D連続性（D距離による定義）、S連続性（S距離による定義）の3つの連続性概念を導入する。
• 点ごとの部分順序 f ≤ g は、すべての x ∈ Ω に対して f(x) ≤ g(x) であることを意味し、[a̲, a̅] ≤ [b̲, b̅] は a̲ ≤ b̲ かつ a̅ ≤ b̅ であることを意味する。
• 関数 f が非有限値をとる点の集合 Γ_nf(f) を分析し、H連続なほぼ有限関数に対してそれが閉集合かつどこでもない稠密集合であることを示す。
• 有界部分集合の上限と下限が空間内に存在することを示すことにより、H連続なほぼ有限関数の空間 ℋ_nf(Ω) がDedekind順序完備であることを証明する。
• Baireカテゴリー理論を適用し、H連続なほぼ有限関数は、第一Baireカテゴリーの集合を除きすべての点で有限値をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実関数の古典的連続性を、連続性の重要な解析的性質を保ちつつ、区間値関数へ意味的に拡張することは可能か？
• RQ2 なぜ一部の連続実関数の集合に対して最小連続区間包絡が存在しないのか、そしてその問題はどのように解決できるか？
• RQ3 H連続な区間関数が持つ位相的および順序論的性質は何か、特に非有限値をとる集合の構造に関しては？
• RQ4 点順序に関して、H連続なほぼ有限な区間関数の空間はDedekind順序完備か？
• RQ5 H-、D-、S-連続性の概念は、区間解析の文脈において、互いにどのように関係し、古典的連続性と関係しているか？

主な発見

• 連続実関数の集合の区間包絡は、一般に連続ではない。これは、C(Ω) がDedekind完備でないことを示している。
• H連続なほぼ有限関数が非有限値をとる点の集合 Γ_nf(f) は、Ω において閉集合かつどこでもない稠密集合である。
• H連続なほぼ有限関数は、Ω 全体で有限実数値をとるが、第一Baireカテゴリーの集合（閉かつどこでもない稠密な集合の可算個の和集合）を除く。
• H連続なほぼ有限な区間関数の空間 ℋ_nf(Ω) はDedekind順序完備である：任意の空でない有界部分集合に対して、上限と下限が空間内に存在する。
• ℋ_nf(Ω) 内の有界部分集合の上限と下限は、点順序に関して保存されるため、解析に不可欠な極限操作が空間で可能になる。
• H連続性により、区間値の上界と下界がそれぞれ上半連続および下半連続であることが保証され、強固な位相的および順序論的解析が可能になる。