[論文レビュー] An introduction to supermanifolds and supersymmetry

Frédéric Hélein|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、代数幾何学的アプローチに基づき、滑らかな関数の超可換代数を用いて定義される骨格的超多様体に焦点を当て、超多様体および超対称性の数学的に厳密な導入を提供する。3次元、4次元、6次元、10次元の超ミンコフスキー空間の明示的構成がなされ、4次元N=4超対称性拡張Poincaré代数のリー超代数構造が導出され、オクタニオン構造から中心的荷重が特定される。

ABSTRACT

The aim of these notes (which were partially covered in lectures given at the Peyresq Summer School on 17--22 June, 2002) is to give an introduction to some mathematical aspects of supersymmetry. Some (hopefully) original point of view are added, by using and developing some results in arXiv:math-ph/0603045, where maps of supermanifolds are analyzed in details and, also, in the presentation of the super Minkowski spaces in dimensions 3, 4, 6 and 10.

研究の動機と目的

• 反交換座標への心理的抵抗を克服することで、数学者に対して超対称性を解きほぐす。
• F. ベレジンのアプローチを模倣した代数幾何学的枠組みを用いて、超多様体の体系的導入を提供する。
• 3次元、4次元、6次元、10次元における超ミンコフスキー空間の明示的構成を提示する。
• 4次元N=4超対称性拡張Poincaré代数のリー超代数構造を分析し、中心的荷重を特定する。
• オクタニオン乗法の規約を明確にし、それらが超荷重および中心的荷重の構成における役割を明らかにする。

提案手法

• Grassmann生成子が $\theta^i\theta^j + \theta^j\theta^i = 0$ を満たす、滑らかな超関数の環 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^{m|k}) = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^m)[\theta^1,\dots,\theta^k]$ を用いて骨格的超多様体を定義する。
• Berezin形式を用いて、超多様体上の積分および超行列式を定義する。
• ミンコフスキー空間にGrassmann値をとるスピンルール座標を拡張することで、3次元、4次元、6次元、10次元の超ミンコフスキー空間を構成する。
• Fano平面図を用いたオクタニオン乗法規則を用いて、超荷重および中心的荷重の複素結合を定義する。
• 4次元N=4超ヤン・ミルズ代数における超荷重 $Q_{aA}$, $\overline{Q}_{\dot{a}A}$ および中心的荷重 $Z_{AB}$, $\overline{Z}_{AB}$ の階数付き交換関係を導出する。
• 10次元超Poincaré代数 $\mathfrak{m}^{(1,9)|16}$ を複素化したバージョンに埋め込み、複素超荷重を定義し、中心的荷重を $Z_{AB}$ の実部および虚部として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反交換座標に不慣れな数学者にとって、超多様体の数学的枠組みをどのようにしてアクセス可能にすることができるか？
• RQ2 3次元、4次元、6次元、10次元における超ミンコフスキー空間の明示的代数的構造は何か？
• RQ3 オクタニオン乗法規則は、4次元N=4超対称性拡張Poincaré代数における中心的荷重の構造をどのように決定するか？
• RQ4 複素超荷重の組み合わせは、4次元N=4超ヤン・ミルズ代数を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 10次元N=1理論のcompactificationによって、4次元N=4超ヤン・ミルズ理論における中心的荷重はどのようにして生じるか？

主な発見

• 本稿は、Grassmann値をとるスピンルール座標を用いて3次元、4次元、6次元、10次元の超ミンコフスキー空間を構成し、それらの背後にある超リー代数構造を特定する。
• 4次元におけるN=4超対称性拡張Poincaré代数は、純粋な超Poincaré代数の中心拡張として実現され、$Z_{AB}$生成子の実部および虚部から生じる6つの中心的荷重が存在する。
• 中心的荷重 $Z_{AB}$ はオクタニオン構造から明示的に構成され、$Z_{AB} + Z_{BA} = 0$ および $\overline{Z}_{AB} = \overline{Z_{AB}}^{\sqrt{-1}}$ を満たし、理論における位相的荷重と関連している。
• 複素超荷重 $Q_{aA}$ および $\overline{Q}_{\dot{a}A}$ は $Q_{aA} = (Q^\alpha_a - \sqrt{-1}Q^\beta_a)/\sqrt{2}$ で定義され、$u_\alpha u_\beta = u_2$ を満たすことで、一貫性のある階数付き交換関係が保証される。
• 階数付き交換関係 $[Q_{aA}, \overline{Q}_{\dot{b}B}] = -2X_{a\dot{b}}\delta_{AB}$ および $[Q_{aA}, Q_{bB}] = -2\epsilon_{ab}Z_{AB}$ は、N=4超ヤン・ミルズ代数構造を確認する。
• 中心的荷重 $Z_{AB}$ は位相的不変量として解釈され、Seiberg–Witten理論およびMontonen–Olive双対性予想と整合的である。