[論文レビュー] An introduction to the Lorentz-Dirac equation

Eric Poisson|ArXiv.org|Dec 10, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 58

ひとこと要約

この論文は、点電荷が自身の電磁場と外部力の下で運動するのを記述するローレンツ＝デイジの運動方程式を、2つの自己完結的な導出法で提示する。1つ目の導出は半遅延引く半進みポテンシャル（ランダウ＝リフシッツの方法）に基づく。2つ目の導出は、遅延ポテンシャルのみに依存するエネルギー運動量保存則に基づく（ディラックの方法）。主な貢献は、高次微分を排除することで物理的に不適切な発散解や前加速解を回避する、次数低減された修正されたローレンツ＝デイジ方程式の導出であり、点粒子電磁力学においてより物理的に妥当な形式を提供する。

ABSTRACT

These notes provide two derivations of the Lorentz-Dirac equation. The first is patterned after Landau and Lifshitz and is based on the observation that the half-retarded minus half-advanced potential is entirely responsible for the radiation-reaction force. The second is patterned after Dirac, and is based upon considerations of energy-momentum conservation; it relies exclusively on the retarded potential. The notes conclude with a discussion of the difficulties associated with the interpretation of the Lorentz-Dirac equation as an equation of motion for a point charge. The presentation is essentially self-contained, but the reader is assumed to possess some elements of differential geometry (necessary for the second derivation only).

研究の動機と目的

• 古典的点電荷が電磁場中で運動するローレンツ＝デイジ方程式の自己完結的導出を提供すること。
• 元の式に伴う解釈上の困難（発散解や前加速解など）を、次数低減手順により解消すること。
• 点粒子近似と整合的でありながら、物理的に不適切な運動を避ける修正されたローレンツ＝デイジ方程式の提示。
• 遅延および進みポテンシャルの分解を用いて、放射反動力の物理的意味を明確化すること。

提案手法

• 放射反動力が半遅延と半進みポテンシャルの差に由来するという、ランダウ＝リフシッツの方法に基づき、ローレンツ＝デイジ方程式を導出する。
• エネルギー運動量保存則に基づくディラックの方法を適用し、遅延ポテンシャルのみに依存して同じ方程式を導出する。
• 加速度運動する世界線を中心とした、固有時間、半径、角度を用いた非慣性座標系を導入し、計算を簡略化する。
• $ q^2/m $ を小さなパラメータとみなして次数低減技術を適用し、$ \dot{a}^\alpha $ を外部力の微分で置き換える。
• 高次微分を含まない修正された運動方程式を構築し、発散解や前加速解を排除する。
• 相対論的形での修正方程式を導出し、$ (t_0/t_c)^2 $ の補正項まで元の式と同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半遅延引く半進みポテンシャルを用いた第一原理的導出により、ローレンツ＝デイジ方程式はどのように得られるか？
• RQ2 エネルギー運動量保存則に基づくディラックの方法は、遅延ポテンシャルのみを用いてどうして同じ方程式を導くのか？
• RQ3 元のローレンツ＝デイジ方程式が運動方程式として持つ物理的および数学的困難は何か？
• RQ4 発散解や前加速解といった物理的に不適切な解を避ける、ローレンツ＝デイジ方程式の修正版を構築できるか？
• RQ5 次数低減された方程式における $ t_0 $ 依存補正項の物理的意味は何か？

主な発見

• ローレンツ＝デイジ方程式は、ポテンシャル分解（ランダウ＝リフシッツ）とエネルギー運動量保存則（ディラック）の2通りの異なる方法で導出された。
• 放射反動力が、ポテンシャルの $ \frac{1}{2}(A^\alpha_{\rm ret} - A^\alpha_{\rm adv}) $ 成分に起因することが示された。
• 次数低減された修正ローレンツ＝デイジ方程式、$ m a^\alpha = F^\alpha_{\rm ext} + t_0 (\delta^\alpha_\beta + u^\alpha u_\beta) F^\beta_{{\rm ext},\gamma} u^\gamma $ は、発散解や前加速解を含まない。
• 次数低減手順により $ \dot{a}^\alpha $ が $ m^{-1} F^\alpha_{{ m ext},\beta} u^\beta $ に置き換えられ、物理的に整合性のある2階微分方程式が得られた。
• 修正された方程式は、$ (t_0/t_c)^2 $ の補正項まで元の式と形式的に同等であるが、元の定式化に伴う病理的性質を回避する。
• 外部電磁場の下では、修正された方程式は $ m a^\alpha = q F^\alpha_{{\rm ext}\,\beta} u^\beta + q t_0 \left[ F^\alpha_{{\rm ext}\,\mu,\nu} u^\mu u^\nu + \frac{q}{m} (\delta^\alpha_\beta + u^\alpha u_\beta) F^\beta_{{\rm ext}\,\mu} F^\mu_{{\rm ext}\,\nu} u^\nu \right] $ の形を取る。