[論文レビュー] An intuitionistic axiomatization of `eventually'

Martín Diéguez, David Fernández–Duque|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、直観的時相論理（ITL⁰ₑ）の「やがて」論理の断片に対して、完全かつ健全な公理的体系を提示する。非決定的準モデルを用いて完全性を確立し、展開可能な半順序集合上での完全性を示す。有限ラベル付き木として表される時点を特徴付けるシミュレーション論理式を構築することで、この断片における妥当性の記号的決定手続きが可能となる。

ABSTRACT

Boudou and the authors have recently introduced the intuitionistic temporal logic $\sf ITL^e$ and shown it to be decidable. In this article we show that the `henceforth'-free fragment of this logic is complete for the class of non-deterministic quasimodels introduced by Fernández-Duque. From this and results of Boudou, Romero and the authors, we conclude that this fragment is also complete for the standard semantics of $\sf ITL^e$ over the class of expanding posets.

研究の動機と目的

• 直観的時相論理 ITL⁰ₑ のうち、'henceforth' 便利子を含まない断片に対して、完全で記号的な公理的体系を提供すること。
• 展開可能な半順序集合上での意味的妥当性と記号的導出の間のギャップを埋めるために、展開可能な半順序集合上での完全性を証明すること。
• モデル理論的決定手続きとは対照的に、記号的メソッドにより、この論理が決定可能であることを確立すること。
• 'henceforth' が存在しないことで、全論理とは異なり、準モデルに基づく完全性証明が可能であることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、各ノードが論理式の集合を持つ可能な状態を表す有限ラベル付き木として、時点を定義する。
• 各時点 w をシミュレーション同値性の意味で一意に特徴付けるシミュレーション論理式 Sim(w) を導入する。
• 標準的な LTL スタイルの規則に加え、'eventual' 便利子を扱うために新しい 'lozenge-induction' 規則（R4）を導入した証明体系を構築する。
• 完全性は対偶的証明により示される：もし論理式 φ が証明不能であれば、論理的閉包に関して閉じた時点の集合から、φ を偽にする有限部分モデル（準モデル）を構築する。
• この構成は「局所的整合性」の概念に依拠し、有限個の論理式、sub(φ) を用いて、遷移関係に関して閉じており、ω感受性を満たす準モデル J_sub(φ) を構築する。
• 上向き閉包性および系列的かつ ω感受性の遷移関係が満たされることを検証することで、準モデルが正当（すなわち、真の準モデルである）ことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直観的時相論理 ITL⁰ₑ の「やがて」のみの断片に対して、完全で健全かつ記号的な公理的体系を提供できるか？
• RQ2 ITL⁰ₑ が 'eventually' 便利子に制限された場合、展開可能な半順序集合のクラス上で完全であるか？
• RQ3 非決定的準モデルは、特に 'henceforth' 演算子が存在しない場合に、直観的時相論理における完全性証明の基盤として機能できるか？
• RQ4 モデル理論的手法とは独立して、この断片における妥当性の記号的決定手続きは存在するか？

主な発見

• 論理 ITL⁰ₑ は、任意の証明不能な論理式に対して偽にする準モデルを構築することで、非決定的準モデルのクラスに関して完全であることが示された。
• 本稿では、言語 ℒ_lozenge 内の任意の証明不能な論理式 φ が、有限の sub(φ)-準モデルで偽にできることが証明され、完全性が確立された。
• 展開可能な半順序集合上での完全性は、一連の同値性の鎖を通じて確立された：位相的妥当性 ⇔ 展開可能な半順序集合上での妥当性 ⇔ 有限準モデル上での妥当性。
• 'lozenge-induction' 規則（R4）は、'eventually' の意味論を正しく捉えるために不可欠であり、遷移関係の ω感受性を保証する。
• シミュレーション論理式 Sim(w) は、各時点 w をシミュレーション同値性の意味で一意に特徴付けることができ、これにより健全かつ完全な証明体系の構築が可能になった。
• この結果により、ITL⁰ₑ における記号的導出が、有限かつ構成的メソッドにより決定可能であることが示され、従来の意味的決定手続きとは補完的である。