[論文レビュー] An invariance principle for conditioned trees

Jean‐François Le Gall|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間的に非負に保たれるように条件付けられた空間的ガルトン＝ワトソン木に対して、不変性原理を確立する。適切なスケーリングの下で、それらは条件付きブラウン運動のくねり（Brownian snake）に収束することが示され、これは連続的な極限対象であり、連続的ランダム木と空間的ブラウン運動を統合したものである。主な結果は、条件付けられた離散的空間的木が統合型スーパー・ブラウン運動（ISE）に収束することであり、ランダム四角形分割における高さおよび空間的測度分布の明示的なスケーリング極限が得られる。

ABSTRACT

We consider Galton-Watson trees associated with a critical offspring distribution and conditioned to have exactly $n$ vertices. These trees are embedded in the real line by affecting spatial positions to the vertices, in such a way that the increments of the spatial positions along edges of the tree are independent variables distributed according to a symmetric probability distribution on the real line. We then condition on the event that all spatial positions are nonnegative. Under suitable assumptions on the offspring distribution and the spatial displacements, we prove that these conditioned spatial trees converge as $n o\infty$, modulo an appropriate rescaling, towards the conditioned Brownian tree that was studied in previous work. Applications are given to asymptotics for random quadrangulations.

研究の動機と目的

• 空間的に非負に保たれるように条件付けられた空間的ガルトン＝ワトソン木の関数極限定理を確立すること。
• 離散的条件付けられた空間的木と、既知の連続的極限対象である条件付きブラウン運動のくねりを結びつけること。
• 木の埋め込みを用いて、ランダム四角形分割における幾何的および空間的性質の漸近的法則を導出すること。
• 平面上のマップの数え上げにおいて、組合せ的双対写像に依存しない、確率的・極限理論的代替手法を提供すること。

提案手法

• 空間的増分がℝ上に.i.i.d.に分布する対称分布γからのものであるガルトン＝ワトソン木を埋め込む。
• すべての頂点位置が≥0であるように、木を空間的に非負に保つように条件づける。
• 同時スケーリングを適用：辺の長さをσn⁻¹/²/2、空間的位置をρ⁻¹(σ/2)¹/²n⁻¹/⁴として、n→∞の極限で行う。
• 木とその空間的位置をコードするために、境界関数および空間的境界関数を用いる。
• 境界関数の収束を正規化されたブラウン運動の余接に、空間過程を初期位置rを持つブラウン運動のくねりに利用する。
• 対称性に基づく極限導出のため、条件付けられたとそうでないブラウン運動のくねりを結ぶVerwaat変換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なスケーリングの下で、空間的ガルトン＝ワトソン木を空間的に非負に保つように条件づけたものはある連続的極限対象に収束するか？
• RQ2 このような条件づけられた木における最大空間的移動距離の極限分布は何か？
• RQ3 ランダム四角形分割における空間的測度および距離の法則は、統合型スーパー・ブラウン運動（ISE）とどのように関係するか？
• RQ4 よくラベル付けされた木との組合せ的双対写像に依存せずに、ブラウン運動のくねりへの収束を確立できるか？
• RQ5 一様ランダム四角形分割におけるルートからのグラフ距離の正確なスケーリング極限は何か？

主な発見

• 条件づけられた木のスケーリング済み空間的境界関数は、初期位置0のブラウン運動のくねりZ⁰の空間過程に分布収束する。
• スケーリング済み最大空間的移動距離n⁻¹/⁴ sup{Uᵥ}は、法則として(8/9)¹/⁴ sup₀≤s≤₁ Z⁰(s)に収束する。ここでZ⁰は初期位置0のブラウン運動のくねりである。
• スケーリング済み空間的測度1/n ∑ᵥ g(n⁻¹/⁴ Uᵥ)は、法則として∫₀¹ g((8/9)¹/⁴ Z⁰(r)) drに収束する。
• ランダム四角形分割における一様ランダム頂点へのルートからのスケーリング済みグラフ距離は、法則として(8/9)¹/⁴ |inf₀≤s≤₁ Z⁰(s)|に収束する。対称性により、これは(8/9)¹/⁴ sup₀≤s≤₁ Z⁰(s)に等しい。
• 一様空間的木が非負のままである確率は、漸近的に2/(n+2)である。これはシャッセーインとシューファーの組合せ的結果と整合的である。
• 本手法は、チャッセーインとシューファー（2004）が用いた組合せ的アプローチの代替として、よくラベル付けされた木との明示的双対写像を回避する極限理論的代替を提供する。