[論文レビュー] An invariance principle for weakly dependent stationary general models

Paul Doukhan, Olivier Wintenberger|ArXiv.org|Mar 9, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、一般非因果モデルのもとで、弱い定常過程に対する弱い不変性原理を、モーメントと依存性の仮定を緩和することで確立する。新たな λ-弱依存性条件を導入し、依存入力の非線形関数的変換に対しても適用可能であり、2次以上のモーメントとより速く減衰する依存係数のもとでブラウン運動への収束を示し、CLTにおける明示的な収束速度を提供する。

ABSTRACT

The aim of this article is to refine a weak invariance principle for stationary sequences given by Doukhan & Louhichi (1999). Since our conditions are not causal our assumptions need to be stronger than the mixing and causal $θ$-weak dependence assumptions used in Dedecker & Doukhan (2003). Here, if moments of order $>2$ exist, a weak invariance principle and convergence rates in the CLT are obtained; Doukhan & Louhichi (1999) assumed the existence of moments with order $>4$. Besides the previously used $η$- and $κ$-weak dependence conditions, we introduce a weaker one, $λ$, which fits the Bernoulli shifts with dependent inputs.

研究の動機と目的

• 既存の弱依存モデルの限界を解決する。これらのモデルは高次モーメントや因果構造を要件としている。
• 非因果的で非線形関数的変換の適用可能なフレームワークを構築する。
• 最小限のモーメントおよび依存性仮定のもとで、Donsker型の不変性原理を確立する。
• 弱い依存性設定におけるCLTの収束速度を提供する。

提案手法

• η-および κ-弱依存性を一般化する新たな λ-弱依存性条件を導入し、非線形変換のもとでも弱い依存性が保たれることを保証する。
• 非線形関数的変換のモーメントを制御するため、切断技術と Hölder の不等式を組み合わせる。
• 一般の依存係数のもとで不変性原理を導出するため、Bernstein のブロック法とLindeberg の技法を適用する。
• 部分和の ∆-モーメント（2 < ∆ < m）を有界化することで、強大数法則を副次的に確立する。
• 射影的条件を用いたマルティングール差分近似を採用するが、完全な Heyde 条件を要件としない。
• 関数 H(Y) を切断された成分に分解する新しい技法を用い、依存性とモーメントの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次以上のモーメントのもとで、非因果的かつ非線形関数的変換の適用可能な弱い依存過程に対して、弱い不変性原理を確立できるか？
• RQ2 新たな λ-弱依存性条件は、非線形変換のもとでも弱い依存性の継承を保証するか？
• RQ3 Doukhan & Louhichi (1999) よりも弱いモーメントおよび依存性仮定のもとで、CLT の収束速度を導出できるか？
• RQ4 標準的な射影的または関連性基準を満たさないが、新たな条件を満たすプロセスの例は存在するか？

主な発見

• 2次以上のモーメントのもとで弱い不変性原理が確立され、Doukhan & Louhichi (1999) が要求した4次以上のモーメントよりも改善されている。
• 新たな λ-弱依存性条件は、非線形変換のもとでも弱い依存性の継承を保証し、依存入力を持つベルヌーイシフトへの応用を可能にする。
• CLT における収束速度が導出され、依存係数の減衰速度に依存する明示的な境界が得られる。
• 本手法は、非因果的モデル、例えば依存するノイズを持つ移動平均の非線形関数的変換に適用可能であり、従来のマルティングールに基づく手法では失敗する場合にも有効である。
• 証明により、部分和の ∆-モーメントが 2 < ∆ < m に対して有界であることが示され、これは副次的に強大数法則の成立を示唆する。
• 切断に基づくアプローチにより、一般のモーメントおよび減衰条件のもとでモーメントと依存性を制御でき、マルティングール近似における2次モーメント条件の必要性を回避できる。