[論文レビュー] An inverse problem for compact Finsler manifolds with the boundary distance map

Maarten V. de Hoop, Joonas Ilmavirta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2019

Advanced Differential Geometry Research参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、境界距離写像が、境界をもつ滑らかでコンパactなフィンスler多様体の位相的・微分的構造を一意に特定することを確立する。Finsler関数が境界距離写像から再構成可能となる最適なファイバーごとの開集合を同定し、Finsler関数がファイバーごとに実解析的である場合に一意に決定されることを証明する。

ABSTRACT

We prove that the boundary distance map of a smooth compact Finsler manifold with smooth boundary determines its topological and differential structures. We construct the optimal fiberwise open subset of its tangent bundle and show that the boundary distance map determines the Finsler function in this set but not in its exterior. If the Finsler function is fiberwise real analytic, it is determined uniquely. We also discuss the smoothness of the distance function between interior and boundary points.

研究の動機と目的

• 境界距離写像が、境界をもつコンパクトなフィンスラーマニフォールドの位相的および微分的構造を再構成するのに十分な情報を符号化しているかどうかを特定すること。
• Finsler関数が境界距離写像から再構成可能な、接バンドルの最大の部分集合を同定すること。
• Finsler関数が境界距離写像によって一意に決定される条件を確立すること。
• 多様体の内部点と境界点の間の距離関数の滑らかさの性質を分析すること。

提案手法

• Finsler関数が境界距離写像によって決定される最適なファイバーごとの開集合を構成すること。
• 境界距離写像を用いて、多様体の幾何的および位相的不変量を同定すること。
• ファイバーごとの実解析的仮定を適用して、局所的再構成をグローバルな一意性に拡張すること。
• 逆問題の技法を用いて、内部点から境界点への距離関数の正則性を分析すること。
• 微分幾何学的および逆問題の手法を用いて、境界測定値と内部のフィンスラーモデル構造との関係を確立すること。
• Finsler関数が同定された最適なファイバーごとの開集合の外部では決定されないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界距離写像は、境界をもつコンパクトなフィンスラーマニフォールドの位相的・微分的構造を一意に特定できるか？
• RQ2 Finsler関数が境界距離写像から再構成可能な、接バンドルの最大の部分集合は何か？
• RQ3 Finsler関数が境界距離写像によって一意に決定される条件は何か？
• RQ4 フィンスラーマニフォールドにおいて、内部点から境界点への距離関数はどの程度滑らかか？
• RQ5 接バンドルの特定のファイバーごとの開集合の外でFinsler関数を再構成する際に、自然な障害は存在するか？

主な発見

• 境界距離写像は、コンパクトなフィンスラーマニフォールドの位相的および微分的構造を一意に決定する。
• Finsler関数が境界距離写像によって決定される最適なファイバーごとの開集合が同定された。
• この最適なファイバーごとの開集合の外部では、Finsler関数は決定されない。
• Finsler関数がファイバーごとに実解析的である場合、境界距離写像によって一意に決定される。
• 与えられた幾何的条件下で、内部点と境界点の間の距離関数が滑らかであることが示された。
• 最適なファイバーごとの開集合の構成は、境界測定値からの再構成の範囲の鋭い限界を提供する。