[論文レビュー] An inverse problem for distributed order time-fractional diffusion equations

Zhiyuan Li, Fujishiro, Kenichi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、区間 (0,T) における単一の点観測 u(x₀,t) から、分散型時間分数拡散方程式における重み関数 μ(α) を特定する逆問題を調査する。固有関数展開とラプラス変換の手法を用いて、周波数領域におけるハルナック型不等式を確立し、μ が有限の振動関数であるという仮定の下で μ の一意性を証明することで、この設定における逆問題を初めて解決する。

ABSTRACT

This paper deals with the distributed order time-fractional diffusion equations with non-homogeneous Dirichlet (Nuemann) boundary condition. We first prove the wellposedness of the weak solution to the initial boundary value problem for the distributed order time-fractional diffusion equation by means of eigenfunction expansion, which ensure that the weak solution has the classical derivatives. We next give a Harnack type inequality of the solution in the frequency domain under the Laplace transform, from which we further show a uniqueness result for an inverse problem in determining the weight function in the distributed order time derivative from point observation.

研究の動機と目的

• 非同次ディリクレまたはノイマン境界条件を伴う分散型時間分数拡散方程式の初期境界値問題に対する弱解の適切性を確立すること。
• 区間 [0,1] 内の重み関数 μ(α) を、区間 (0,T) における単一の点観測 u(x₀,t) から同定する逆問題を調査すること。
• μ が有限の振動関数であるという仮定の下で、逆問題の解の一意性を証明すること。
• 一意性の議論を支援するために、ラプラス周波数領域における解に関するハルナック型不等式を構築すること。

提案手法

• 弱解の表現式を導出し、その収束性と正則性を確立するために固有関数展開を用いる。
• 時間分数型偏微分方程式を周波数領域における楕円型方程式に変換するためにラプラス変換を適用する。
• 変換された解に関するハルナック型不等式を確立し、周波数領域における解の挙動を制御する。
• 楕円型方程式の強い最大原理に基づく背理法を用いて、μ の一意性を証明する。
• ラプラス変換に基づく議論の適用可能性を保証するために、μ が有限の振動関数であるという条件を課す。
• 点 x₀ におけるラプラス変換が等しいことから、変換された解が等しいことが導かれ、結果として μ = μ̃ が得られることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散型時間分数拡散方程式における重み関数 μ(α) は、区間 (0,T) における単一の点観測 u(x₀,t) から一意に特定可能か？
• RQ2 分散型設定における逆問題の一意性を保証する μ(α) に必要な条件は何か？
• RQ3 ラプラス変換は、分散型微分を伴う時間分数拡散方程式の逆問題をどのように分析できるか？
• RQ4 周波数領域におけるハルナック型不等式は、分数量分拡散における逆問題の一意性を確立するのを支援するか？
• RQ5 変換された楕円型系に強い最大原理を適用することで、一意性の結果を導くことができるか？

主な発見

• 与えられた仮定の下で、分散型時間分数量分拡散方程式の初期境界値問題に対する弱解は存在し、適切に定義されており、古典的微分可能性を有する。
• ラプラス周波数領域における解に関して、ハルナック型不等式が確立され、これが一意性の証明に不可欠である。
• μ が有限の振動関数の許容集合に属する場合、区間 (0,T) における単一の点観測 u(x₀,t) に基づいて、重み関数 μ(α) の一意性が証明された。
• 証明は背理法に依拠しており、μ ≠ μ̃ ならば、点 x₀ における解のラプラス変換が異なってしまうが、これは観測データと矛盾する。
• ラプラス変換と強い最大原理を用いた類似の議論により、ディリクレおよびノイマン境界条件の両方へこの手法を拡張可能である。
• 一般の μ（有限の振動関数のクラスに属さないもの）については未解決であり、特にデータが (0,∞) ではなく (0,T) に制限されている場合にその結果は未解決のままである。