[論文レビュー] An inverse problem for the magnetic Schr\\"odinger equation in infinite cylindrical domains

Mourad Bellassoued, Yavar Kian+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、磁気シュレーディンガー方程式における磁場および電気ポテンシャルの、無限大3次元円柱領域内での一意的かつ Hölder 安定な同定を、Dirichlet-to-Neumann (DN) 写像を用いて確立している。著者らは、境界測定値が DN 写像を通じて与えられる場合、磁場（ゲージ同値性を除く）および電気ポテンシャルが一意に回復可能であることを証明しており、特にポテンシャルがコンパクトに台を持つ場合、有限に拡張された観測でも成立する。

ABSTRACT

We study the inverse problem of determining the magnetic field and the electric potential entering the Schr\\"odinger equation in an infinite 3D cylindrical domain, by Dirichlet-to-Neumann map. The cylindrical domain we consider is a closed waveguide in the sense that the cross section is a bounded domain of the plane. We prove that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map determines uniquely, and even H\\"older-stably, the magnetic field induced by the magnetic potential and the electric potential. Moreover, if the maximal strength of both the magnetic field and the electric potential, is attained in a fixed bounded subset of the domain, we extend the above results by taking finitely extended boundary observations of the solution, only.

研究の動機と目的

• 磁気シュレーディンガー方程式に従う無限大3次元円柱領域における磁場および電気ポテンシャルの逆問題を解くこと。
• Dirichlet-to-Neumann (DN) 写像からの磁気ポテンシャル（ゲージ同値性を除く）および電気ポテンシャルの同定における一意性と安定性を確立すること。
• 磁場および電気ポテンシャルがコンパクトに台を持つ場合にまで結果を拡張し、有限に拡張された境界観測からの回復を可能にすること。
• 境界測定値を用いた磁場および電気ポテンシャルの Hölder 安定な再構成を提供すること、特に観測データが限られた場合にも成立するようにすること。

提案手法

• Bukhgeim-Klibanov 法と複素幾何学的光学 (CGO) 解を組み合わせて、逆問題を分析する。
• 円柱幾何に適合した時間および空間における振動的挙動を示す、磁気シュレーディンガー方程式の特別な解を構成する。
• 大パrameter $\sigma$ に依存する重み関数を用いた Carleman 評価を用いて、漸近展開における誤差項を制御する。
• Sobolev 埋め込みおよび補間不等式を用いて、磁気ポテンシャルの $L^\infty$ ノルムを DN 写像差の項で評価する。
• フーリエ解析および Plancherel 恒等式を用いて、周波数空間における電気ポテンシャルの $L^2$ ノルムを推定する。
• 最終的な評価式として $\|\widehat{q}(\xi^\prime,x_3)\|$ を導出し、フーリエ変換の減衰を制御することで安定性評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大円柱領域における磁場および電気ポテンシャルは、Dirichlet-to-Neumann 写像から一意に同定可能か？
• RQ2 DN 写像の微小な摂動に対して、磁気ポテンシャルおよび電気ポテンシャルの再構成は安定か？
• RQ3 磁場および電気ポテンシャルがコンパクトに台を持つ場合、有限に拡張された境界測定値のみで逆問題が解けるか？
• RQ4 磁気および電気ポテンシャルの回復における最良の安定性評価（例：Hölder もしくは Lipschitz）は何か？
• RQ5 磁気ポテンシャルのゲージ不変性は、逆問題における一意性および安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 磁場および電気ポテンシャルは、無限大円柱領域における Dirichlet-to-Neumann 写像によって一意に同定可能である。
• 再構成は Hölder 安定である：DN 写像の差が、回復されたポテンシャルの誤差を Hölder 指数を用いて制御する。
• 磁場および電気ポテンシャルがコンパクトに台を持つ場合、有限に拡張された境界観測のみで逆問題が解ける。
• 安定性評価は $\|q\|_{L^\infty_{x_3}(\mathbb{R},H^{-1}(\omega))} \leq C(\delta^{\mu_2} + \rho^{-1})$ として定量的に与えられ、ここで $\delta = \|\Lambda_{A_1,q_1} - \Lambda_{A_2,q_2}\|$, $\mu_2 > 0$ である。
• 磁気ポテンシャルはゲージ同値性を除いて回復可能であり、Sobolev 埋め込みおよび補間を用いて DN 写像差の項で $L^\infty$ ノルムが評価可能である。
• 最終的な安定性評価は、$\sigma$, $\delta$, $\rho$ を含む複数の誤差項をバランスさせることで得られ、指数 $\mu_2 \propto \mu_{1}/(41 - 48\mu)$ を持つ Hölder 型の評価に帰着する。