[論文レビュー] An Invitation to Random Schroedinger operators

Werner Kirsch|ArXiv.org|Sep 24, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 54被引用数 61

ひとこと要約

この論文は、$ℚ^2(\mathbb{Z}^d)$ 上のアンドリュー・モデルに焦点を当て、確率的シュレーディンガー作用素の自己完備的な入門を提供する。初等的な関数解析および確率論を用いて、リーフシッツテールとアンドリュー局在化の完全な証明を行い、局在化領域における局在化固有状態と特異連続スペクトルの存在を確立する。

ABSTRACT

This review is an extended version of my mini course at the Etats de la recherche: Operateurs de Schroedinger aleatoires at the Universite Paris 13 in June 2002, a summer school organized by Frederic Klopp. These lecture notes try to give some of the basics of random Schroedinger operators. They are meant for nonspecialists and require only minor previous knowledge about functional analysis and probability theory. Nevertheless this survey includes complete proofs of Lifshitz tails and Anderson localization.

研究の動機と目的

• 関数解析および確率論の最小限の背景知識を有する非専門家向けに、自己完備的でアクセス可能な確率的シュレーディンガー作用素の入門を提供すること。
• 連続系の技術的複雑さを避けることで、$\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上のアンドリュー・モデルの基礎的理論を明確にすること。
• 状態密度の存在を確立し、リーフシッツテールを証明することで、スペクトル端近傍における統合状態密度の指数的減衰を示すこと。
• 多スケール解析の手法を用いてアンドリュー局在化を証明し、指数的局在化固有関数を有する純点スペクトルの存在を示すこと。

提案手法

• $i.i.d.$ で有界な単一サイト分布を有する確率的ポテンシャル $V$ を用いて、$\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上の確率的シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ としてアンドリュー・モデルを形式化する。
• スペクトル計算およびスペクトル定理を用いて、$H$ の時間発展およびスペクトル的性質を分析する。
• エルゴディック理論を適用し、格子並進下でのスペクトル的性質のほとんど確実な定数性を確立する。
• 体積単位あたりのトレースを用いて状態密度を導出し、幾何的リゾルベント方程式およびウェグナー推定を用いてその存在を証明する。
• 大偏差推定を用いてスペクトル下端近傍における統合状態密度の上界および下界を評価し、リーフシッツテールを証明する。
• 多スケール解析およびスペクトル射影法を用いて、スペクトルが純点であり、指数的局在化固有関数を有することを証明することで、アンドリュー局在化を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドリュー・モデルにおける確率的ポテンシャルは、シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ2 統合状態密度はスペクトル端近傍でどのように振る舞い、リーフシッツ特異性とどのように関係するか？
• RQ3 確率的シュレーディンガー作用素が指数的局在化固有関数を有する純点スペクトルを示す条件は何か？
• RQ4 エルゴディック確率的作用素の文脈において、状態密度の存在をどのように厳密に確立できるか？
• RQ5 スペクトル射影およびリゾルベントは、局在化の証明および拡張状態の不在を示す際に果たす役割は何か？

主な発見

• エルゴディック確率的シュレーディンガー作用素に対して、状態密度は存在し、ほとんど確実に定数である。体積単位あたりのトレースは、明確に定義された極限を提供する。
• リーフシッツテールが証明された：統合状態密度はスペクトル端近傍で指数的に減少し、$E \downarrow E_0$ のときの漸近的挙動として $N(E) \sim \exp(-c|E-E_0|^{-d/2})$ を示す。
• アンドリュー・モデルのスペクトルは、指数的局在化固有関数を有する純点スペクトルである。これは、強い不規則性領域におけるアンドリュー局在化を確認する。
• 多項式的増大を示す一般化固有関数は、スペクトル点に対応し、このような解の存在は、点スペクトルの存在を示唆する。
• 多スケール解析の手法を用いて局在化を証明し、固有関数が任意の多項式よりも速く減衰することを示した。これにより、拡張状態の不在が確認された。
• シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ のスペクトル定理の証明は、スペクトル計算および最小最大原理に依拠しており、$H$ の自己共役性およびスペクトル分解を保証する。