[論文レビュー] An involution on bicubic maps and β(0,1)-trees

Anders Claesson, Sergey Kitaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Graph theory and applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的マップと双対な組合せ的構造であるβ(0,1)-木に作用する対合を導入し、双曲的マップ上の統計 f1r3 と f3r2 の同時等分布性を証明する。この対合はβ(0,1)-木上で根とrmodの統計を入れ替えるが、木の構造を保つ。これにより、2変数母関数の対称性が確立される。主な結果は、(f1r3, f3r2) の同時分布が2つの統計を入れ替えても不変であることを示し、従来の等分布結果をより強い対称性へと拡張することである。

ABSTRACT

Bicubic maps are in bijection with β(0,1)-trees. We introduce two new ways of decomposing β(0,1)-trees. Using this we define an endofunction on β(0,1)-trees, and thus also on bicubic maps. We show that this endofunction is in fact an involution. As a consequence we are able to prove some surprising results regarding the joint equidistribution of certain pairs of statistics on trees and maps. Finally, we conjecture the number of fixed points of the involution.

研究の動機と目的

• 双曲的マップ上の統計について、個々の等分布性を超えたより強い等分布結果を確立すること。
• 根ラベルとrmod統計を入れ替えつつ木構造を保つ新しいβ(0,1)-木上の対合を定義すること。
• 双曲的マップ上での(f1r3, f3r2)の同時分布が、2つの統計を入れ替えても対称的であることを証明すること。
• この対合の不動点の数を予想し、カタラン数とβ(0,1)-木上の特徴的なノードと関連付けること。
• β(1,0)-木と非分離マップに関する先行研究を、β(0,1)-木と双曲的マップの設定へと拡張すること。

提案手法

• β(0,1)-木を、葉が0、根のラベルが子のラベルの和より1大きい、内部ノードのラベルが子のラベルの和より1以内に収まる整数ラベルをもつ根付き平面木として定義する。
• β(0,1)-木の2つの新しい分解を導入する：根のラベルによる分解と、根の子の数（sub(T)）による分解。
• 根ラベルと子のラベル和の1を法とする剰余（rmod）を交換するβ(0,1)-木上の自己写像gを定義し、これが対合であることを証明する。
• 既知のβ(0,1)-木と双曲的マップの間の双対性を用いて、この対合をマップの設定に翻訳し、2変数母関数の対称性を証明する。
• 2通りの証明を提供する：1つは母関数を用いた証明、もう1つは対合gを用いた組合せ的証明により、同時等分布性を示す。
• gの不動点の数が 2^{n-1} C_{floor(n/2)} に等しいと予想し、これは、floor(n/2)+1 個のノードを持つ過剰ノードを特徴づけるノードを備えたβ(0,1)-木と双対であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的マップ上での統計 f1r3 と f3r2 の同時分布は、2つの統計を入れ替えても対称的か？
• RQ2 根ラベルとrmod統計を入れ替えつつ木構造を保つβ(0,1)-木上の対合を構成可能か？
• RQ3 この対合の不動点の数は何か？ そして、閉形式で表せるか？
• RQ4 この同時分布の対称性は、β(0,1)-木上の他の統計ペアへと拡張可能か？
• RQ5 この対合の不動点と、過剰ノードを特徴づけるノードを1つ持つβ(0,1)-木との間には双対性が存在するか？

主な発見

• β(0,1)-木上の対合gが対合であることが証明された。つまり、すべての木Tに対してg(g(T)) = Tが成り立つ。
• 対合gは根ラベルとrmod統計を入れ替え、root(g(T)) = rmod(T) および rmod(g(T)) = root(T) を満たす。
• その結果、β(0,1)-木上での(root, rmod)の同時分布は対称的である：n個のノードを持つすべての木について、∑ x^{root(T)} y^{rmod(T)} = ∑ x^{rmod(T)} y^{root(T)} が成り立つ。
• この対称性により、双曲的マップ上での(f1r3, f3r2)と(f3r2, f1r3)の同時等分布性が示され、定理2が証明される。
• 対合gの不動点の数は、2^{n-1} C_{floor(n/2)} に等しいと予想される。ここでC_kはk番目のカタラン数である。
• この予想はn ≤ 12についての計算で裏付けられており、不動点と、floor(n/2)+1 個のノードを持つ過剰ノードを特徴づけるノードを備えたβ(0,1)-木との間の双対性と同値である。