[論文レビュー] An irrationality measure for Liouville numbers and conditional measures for Euler's constant

Jonathan Sondow|ArXiv.org|Jul 23, 2003

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、標準的な無理数的測度を基数 β に置き換えることで、リウヴィル数と非リウヴィル数を区別する新たな測度である「無理数的基数」β(t) を導入する。対数形式に関する条件を仮定する（P. Sebah の数値的証拠により裏付けられる）ことで、オイラー定数 γ の無理数的基数に対する上界を証明する。この条件が成り立たない場合、標準的な無理数的測度 μ(γ) に対する上界を確立する。

ABSTRACT

The irrationality exponent $μ(t)$ of an irrational number t, defined using the irrationality measure $1/q^μ$, distinguishes among non-Liouville numbers and is infinite for Liouville numbers. Using the irrationality measure $1/β^q$, we define the "irrationality base" $β(t)$, which distinguishes among Liouville numbers and is 1 for non-Liouville numbers. We give some properties and examples. Assuming a condition on certain linear forms in logarithms, for which we present numerical evidence supplied by P. Sebah, we prove an upper bound on the irrationality base of Euler's constant, $γ$. If $γ$ is irrational and the condition turns out to be false in a certain strong sense, we prove an upper bound on $μ(γ)$.

研究の動機と目的

• リウヴィル数と非リウヴィル数を区別できる新たな測度「無理数的基数」β(t) を定義すること。
• 対数形式に関する仮定の下で、オイラー定数 γ の無理数的基数を分析すること。
• 特定の数論的条件を仮定した場合に、γ の無理数的基数に対する上界を提供すること。
• この条件が強く失敗した場合、標準的な無理数的測度 μ(γ) に及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• t に対する有理近似の減衰率 1/β^q を用いて、無理数的基数 β(t) を定義する。
• 標準的な無理数的測度 μ(t) を基準とするが、それを β(t) の観点から再定式化し、リウヴィル数を区別する。
• P. Sebah の数値的証拠に基づき、対数形式に関する条件を仮定し、β(γ) の上限を導出する。
• 超越数論の結果、特に対数形式に関連する結果を応用して、近似誤差の成長を制約する。
• 条件付き推論を用いる：対数形式の条件が強く失敗する場合、μ(γ) に対する上界を導出する。
• 既知の無理数的測度およびリウヴィル数に関する結果を活用し、β(t) の理論的枠組みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リウヴィル数の間を区別できる、無理数的測度の意味のある改良は何か？
• RQ2 対数形式に関する特定の仮定の下で、オイラー定数 γ の無理数的基数 β(γ) はどのように振る舞うか？
• RQ3 対数形式の条件が成り立つと仮定した場合、β(γ) に対してどの程度の上界を確立できるか？
• RQ4 対数形式の条件が強く失敗した場合、標準的な無理数的測度 μ(γ) はどのように変化するか？
• RQ5 対数形式の条件に関する数値的証拠は、γ の無理数的測度に対する理論的上限を支持するために利用できるか？

主な発見

• 無理数的基数 β(t) は、非リウヴィル数に対して β(t) = 1、リウヴィル数に対して β(t) > 1 となるように定義され、リウヴィル数の間のより細かい区別を可能にする。
• P. Sebah の数値的証拠により裏付けられる対数形式に関する条件を仮定することで、オイラー定数 γ の無理数的基数に対する上界が確立される。
• 対数形式の条件が強く失敗する場合、本稿では標準的な無理数的測度 μ(γ) に対する上界が証明されるが、その正確な値は指定されていない。
• 本稿では、無理数的基数の例と性質を提示し、リウヴィル数の分類におけるその有用性を示している。
• 結果は、超越数論における深い予想に依存しており、条件の妥当性は数値計算によって強化されている。
• 本研究は、数論における最も顕著な未解決問題の一つである γ の近似性質の理解に貢献している。