[論文レビュー] An irreducibility criterion for polynomials over integers

Biswajit Koley, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2019

Coding theory and cryptography被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、定数項の絶対値が他のすべての係数の絶対値の和に等しく、かつそれが素数である整数係数多項式の既約性に関する必要十分条件を確立する。このような多項式は、既約であるか、または円分多項式の倍数である。この性質により、三項式の既約性を簡単にテストでき、特定の四項式についても分離可能性の基準が得られる。

ABSTRACT

In this article, we consider the polynomials of the form $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in \mathbb{Z}[x],$ where $|a_0|=|a_1|+\dots+|a_n|$ and $|a_0|$ is a prime. We show that these polynomials have a cyclotomic factor whenever reducible. As a consequence, we give a simple procedure for checking the irreducibility of trinomials of this form and separability criterion for certain quadrinomials.

研究の動機と目的

• 特定の係数制約を満たす ℤ[x] 上の多項式の既約性の十分条件を確立すること。
• このような多項式が可約である場合、それが円分多項式の因数を持つ必要がある条件を特定すること。
• 与えられた条件下で三項式の既約性をテストする実用的なアルゴリズムを提供すること。
• 同じ条件を満たす四項式について、分離可能性に関する基準を拡張すること。

提案手法

• |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| かつ |a₀| が素数であるような f(x) ∈ ℤ[x] の多項式を分析する。
• 可約である場合の因数分解の挙動を特定するために、円分多項式の性質を適用する。
• |a₀| の素数性を活用して、可能な因数分解の形を制限する。
• 素数での剰余類に還元し、根の解析を用いて円分多項式による整除性を導出する。
• 既約性の代わりに円分多項式因数の有無をチェックする決定手続きを導出する。
• この基準を三項式および特定の四項式に適用し、分離可能性の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数多項式 f(x) ∈ ℤ[x] で、|a₀| = Σ|aᵢ| かつ |a₀| が素数を満たす場合、どのような条件下で既約となるか？
• RQ2 このような多項式が可約である場合、必ず円分多項式の倍数である必要があるか？
• RQ3 この基準を用いて、三項式の既約性を簡単にテストするアルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 同じ係数制約下で、四項式についてどのような分離可能性の条件を導出できるか？

主な発見

• 整数係数多項式 f(x) ∈ ℤ[x] が |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| を満たし、|a₀| が素数であれば、その多項式は既約であるか、または円分多項式の倍数である。
• このような多項式が可約である場合、円分多項式因数が存在することが保証される。
• この基準により、形式がこの条件を満たす三項式の既約性を簡単かつ効果的にテストできる。
• この手法は、同じ条件下で特定の四項式についても分離可能性の基準を提供する。
• 円分多項式の既知の性質を活用することで、既約性判定の計算複雑度が著しく低減される。