[論文レビュー] An irreducible symplectic orbifold of dimension 6 with a Lagrangian Prym fibration

Tommaso Matteini|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限商特異点、自明な基本群、滑らかでない部分の不正則性が1である6次元の射影的シンプレクティック軌道体を構成する。これは、対合を持つ種数4の曲線の族上の相対的コンパクト化されたプリム多様体として生じ、一般の立方曲面の2重被覆であるK3多様体を介してラグランジュ被覆構造を実現し、シンプレクティック解消が存在しないことを証明する。

ABSTRACT

A projective symplectic variety $\mathcal{P}$ of dimension 6, with only finite quotient singularities, $\pi(\mathcal{P})=0$ and $h^{(2,0)}(\mathcal{P}_{smooth})=1$, is described as a relative compactified Prym variety of a family of genus 4 curves with involution. It is a Lagrangian fibration associated to a K3 surface double cover of a generic cubic surface. It has no symplectic desingularization.

研究の動機と目的

• 6次元の射影的シンプレクティック軌道体を、有限商特異点と自明な基本群を備えて構成すること。
• この軌道体を、対合を持つ種数4の曲線の族に関連する相対的コンパクト化されたプリム多様体として実現すること。
• 被覆構造がラグランジュ的であることを確立し、一般の立方曲面の2重被覆であるK3多様体と結びつけること。
• この軌道体がシンプレクティック解消をもたないことを証明し、その幾何的障害を強調すること。

提案手法

• 種数4の曲線の族にシンプレクティック対合を備えた幾何を用いて、相対的コンパクト化されたプリム多様体を定義する。
• この軌道体を、対合のプリム多様体上の次数0の線分束をパラメトライズするモジュライ空間として構成する。
• シンプレクティック形式の下で、ファイバーがラグランジュ部分多様体であることを示すことによって、被覆構造を確立する。
• 一般の立方曲面へのK3多様体の2重被覆構成を用いて、被覆構造をラグランジュ被覆構造として実現する。
• シンプレクティック特異点および軌道体の理論の結果を応用し、基本群とホッジ数を分析する。
• cohomological invariants として $h^{(2,0)}(\mathcal{P}_{\text{smooth}}) = 1$ および $\pi_1(\mathcal{P}) = 0$ を用いて構造を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元の射影的シンプレクティック軌道体を、有限商特異点と自明な基本群を備えて、相対的コンパクト化されたプリム多様体として構成できるか？
• RQ2 このような構成によって、シンプレクティック形式と整合するラグランジュ被覆構造が得られるか？
• RQ3 この軌道体と一般の立方曲面の2重被覆であるK3多様体との関係は何か？
• RQ4 この軌道体にシンプレクティック解消が存在するか？もし存在しないなら、その幾何的障害は何か？

主な発見

• 構成された6次元のシンプレクティック軌道体は、有限商特異点のみをもち、基本群が自明である。
• この軌道体は、対合を持つ種数4の曲線の族に関連する相対的コンパクト化されたプリム多様体として実現される。
• ラグランジュ被覆構造を有し、ファイバーはシンプレクティック意味でのラグランジュ部分多様体である。
• 被覆構造は、一般の立方曲面の2重被覆であるK3多様体から生じる。
• 軌道体の滑らかな部分には $h^{(2,0)} = 1$ であり、これはその変形理論的剛性を確認する。
• この軌道体はシンプレクティック解消をもたない。これは、特異点をシンプレクティック構造を保存したまま滑らかにできない、本質的な幾何的障害を示している。