[論文レビュー] An isomorphism Theorem for Yokonuma--Hecke algebras and applications to link invariants

Nicolas Jacon, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Yokonuma–Hecke代数 $Y_{d,n}$ と型 $A$ の Iwahori–Hecke代数のテンソル積上の行列代数の直和との明示的な同型を確立し、マルコフトレースの完全分類と3変数リンク不変量の構成を可能にする。この同型により、古典的 Hecke代数から Yokonuma–Hecke代数への表現論的および位相的結果の移行が可能となり、古典的絡み目の場合に得られる不変量が HOMFLYPT多項式と位相的に同値であることを証明する。

ABSTRACT

We develop several applications of the fact that the Yokonuma--Hecke algebra of the general linear group GL is isomorphic to a direct sum of matrix algebras associated to Iwahori--Hecke algebras of type A. This includes a description of the semisimple and modular representation theory of the Yokonuma--Hecke algebras of GL and a complete classification of all the Markov traces for them. Finally, from these Markov traces, we construct 3-variables polynomials which are invariants for framed and classical knots and links, and investigate their properties with the help of the isomorphism.

研究の動機と目的

• Yokonuma–Hecke代数 $Y_{d,n}$ と、型 $A$ の Iwahori–Hecke代数のテンソル積上の行列代数の直和との明示的同型を確立すること。
• この同型を用いて、$Y_{d,n}$ 上のすべてのマルコフトレースを分類し、それらのパラメータの明示的公式を導出すること。
• これらのトレースから、フレーム付きおよび古典的絡み目およびリンクの3変数多項式不変量を構成すること。
• 同型を用いて、得られた不変量が HOMFLYPT多項式と位相的に同値であるかどうかを調査すること。

提案手法

• 型 $A$ の Iwahori–Hecke代数のテンソル積上の行列代数の直和と $Y_{d,n}$ の間の明示的同型を、$n$ を $d$ 個の部品に分割する組成でインデックス付けされたものとして構成する。
• 同型を用いて、型 $A$ の Iwahori–Hecke代数の表現論から $Y_{d,n}$ の半単純およびモジュラー表現論を導出する。
• 型 $A$ の Iwahori–Hecke代数の標準的対称形式を用いて $Y_{d,n}$ 上の対称形式を定義し、そのシュール要素を型 $A$ 代数のシュール要素の積として計算する。
• 同型を用いて、型 $A$ 代数側の分類を翻訳することで、$Y_{d,n}$ 上のすべてのマルコフトレースを分類し、生成子上のトレース値を用いてパラメータを生成子のトレース値で表す。
• 係数 $\alpha_{\mu^0}$ が明示的公式で与えられる線形結合として、3変数リンク不変量 $\mathrm{F}\Delta_{Y,S}$ を構成する。
• 同型とトレースパラメータ化を用いて、同型下での等価性とトレースパラメータ化の結果を示すことで、古典的リンクに対して得られる不変量が HOMFLYPT多項式と位相的に同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yokonuma–Hecke代数 $Y_{d,n}$ の表現論は、型 $A$ の Iwahori–Hecke代数のテンソル積との同型を用いて、どのように完全に分類可能か？
• RQ2 すべてのマルコフトレースの完全分類とは何か？ そのパラメータはどのように明示的に計算可能か？
• RQ3 これらのトレースからフレーム付きおよび古典的リンクの3変数多項式不変量を構成可能か？ その性質は何か？
• RQ4 $Y_{d,n}$ から得られる不変量は、古典的絡み目に対して HOMFLYPT多項式と位相的に同値か？
• RQ5 $Y_{d,n}$ と型 $A$ の Iwahori–Hecke代数の行列代数との同型は、表現論的および位相的結果の移行をどのように促進するか？

主な発見

• Yokonuma–Hecke代数 $Y_{d,n}$ は、$n$ を $d$ 個の部品に分割する組成でインデックス付けされた、型 $A$ の Iwahori–Hecke代数のテンソル積上の行列代数の直和に同型である。
• すべてのマルコフトレースが分類され、そのパラメータ $\alpha_{\mu^0}$ は、$\mu^0_a = 0$ がすべての $a \notin S$ に対して成り立つとき $\alpha_{\mu^0} = \frac{D_S^{\vert\mu^0\vert-1}}{|S|^{\vert\mu^0\vert}}$ と明示的に計算され、それ以外の場合は 0 である。
• 3変数リンク不変量 $\mathrm{F}\Delta_{Y,S}$ は、係数 $\alpha_{\mu^0}$ を用いた $\mathrm{F}\Gamma^{\sqrt{q}^{-1}}_{Y,\mu^0}$ の線形結合として構成され、ここで $u$ と $v$ は $u^2 = q$、$v = q-1$、$\lambda_S = D_S / |S|$ を用いて $q$ と $\lambda_S$ で表される。
• $Y_{d,n}$ から得られる古典的リンクの不変量は、同型とトレースパラメータ化により、HOMFLYPT多項式と位相的に同値であることが確認された。
• $Y_{d,n}$ 上の対称形式は、型 $A$ の Iwahori–Hecke代数の標準的対称形式から誘導され、そのシュール要素は型 $A$ 代数のシュール要素の積である。
• マーフォントレース $\widetilde{\rho}_{S,n}$ の基底 $\rho_{\mu^0,n}$ への分解は、明示的に $\mathrm{F}\Delta_{Y,S} = \sum_{\mu^0 \in \mathrm{Comp}_d^0} \alpha_{\mu^0} \mathrm{F}\Gamma^{\sqrt{q}^{-1}}_{Y,\mu^0}$ と与えられ、ここで $\alpha_{\mu^0}$ は (72) で定義された通りである。