[論文レビュー] An isoperimetric inequality for extremal Sobolev functions

Tom Carroll, Jesse Ratzkin|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リプシッツ境界を持つ有界領域における鋭いソボレフ定数の極値関数に対して、逆ホルダー不等式を確立する。これは、極値関数の $ L^{p-1} $-ノルムがその $ L^p $-ノルムに関して下から有界であることを示し、等号が成り立つのは領域が球である場合に限ることを証明する。この結果は、ペインとレイナの固有関数に関する不等式を一般化し、共面積公式、対称化、および1次元の変分解析を用いて、ソボレフ極値関数に対する鋭い等周型不等式を導出する。

ABSTRACT

Let D be a bounded domain in n-dimensional Euclidean space, where n>2, and let 1

研究の動機と目的

• リプシッツ境界を持つ有界領域における鋭いソボレフ定数の極値関数に対して、逆ホルダー不等式を確立すること。
• ラプラシアン固有関数に関するペイン＝レイナの等周不等式を、より広いクラスの極値ソボレフ関数へ一般化すること。
• 不等式における等号成立条件を特定し、それが領域が球である場合に限ることを示すこと。
• 極値関数の $ L^{p-1} $-ノルムに対する $ L^p $-ノルムおよびソボレフ定数を用いた鋭い下界を導出すること。

提案手法

• 共面積公式を用いて、$ H(t) = \int_{D_t} \phi^{p-1} \, d\mu $ と定義される補助関数を導入する。ここで $ D_t = \{x \in D : \phi(x) > t\} $ である。
• 共面積公式と発散定理を適用し、$ H $ の体積 $ V(t) = |D_t| $ に関する微分と関係づけ、$ \frac{dH}{dV} = t^{p-1} $ を得る。
• コーシー＝シュワルツ不等式と偏微分方程式 $ \Delta\phi + \lambda \phi^{p-1} = 0 $ を用いて、$ H(V) $ に関する微分不等式を導出し、$ \frac{d^2H}{dV^2} $ の下界を得る。
• 球上での1次元径向固有値問題に問題を還元し、$ \rho^{1-n} f^2 $ と $ \rho^{1-n} f'^{p/(p-1)} $ を含むリーマン商の最小化を解析する。
• 体積が等しい球領域 $ D^* $ との比較を用い、対称化によりソボレフ定数 $ \mathcal{C}_p(D) $ と $ \mathcal{C}_p(D^*) $ を比較する。
• 径向最小化関数のオイラー＝ラグランジュ方程式を適用し、一般化された商 $ \Lambda_* $ を通じて鋭い下界を導出する。この商は $ \mathcal{C}_p(D^*) $ と関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極値ソボレフ関数の $ L^{p-1} $-ノルムが逆ホルダーの意味でその $ L^p $-ノルムを支配する条件は何か？
• RQ2 $ p \in \left(1, \frac{2n}{n-2}\right) $ の場合に、ラプラシアン固有関数に関するペイン＝レイナの不等式を、鋭いソボレフ定数の極値関数へ一般化できるか？
• RQ3 提案された逆ホルダー不等式における等号成立条件は何か？また、その幾何的条件は領域にどのような制約を課えるか？
• RQ4 鋭いソボレフ定数 $ \mathcal{C}_p(D) $ は、特に球との比較において、領域の幾何構造とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は逆ホルダー不等式を確立する：$ \left(\int_D \phi^{p-1} \, d\mu\right)^2 \geq |D|^{\frac{n-2}{n}} \left(\int_D \phi^p \, d\mu\right)^{\frac{2(p-1)}{p}} \left[ \frac{2n^2 \omega_n^{2/n}}{p \, \mathcal{C}_p(D)} - (n-2) \frac{n \, \omega_n^{\frac{2}{n} + \frac{p^2 - p + 2}{p(p-1)}}}{\mathcal{C}_p(D^*)} \right] $。
• 等号が成り立つのは、領域 $ D $ が球であり、極値関数 $ \phi $ が径向的対称である場合に限る。
• この不等式は $ p = 2 $ のときペイン＝レイナの結果に帰着され、$ n = 2 $ のとき [2] の逆ホルダー不等式に帰着される。
• 球における鋭い定数 $ \mathcal{C}_p(D^*) $ は、$ \mathcal{C}_p(D^*) \leq (n\omega_n)^{\frac{p-2}{p}} \Lambda_* $ を満たす。ここで $ \Lambda_* $ は1次元リーマン商の最小化子である。
• 証明は、対称化により問題を径向設定に変換し、共面積公式を用いてレベル集合と体積関数 $ V(t) $ を関係づける。
• 解析により、$ D $ が球であるとき、$ \phi $ の $ L^{p-1} $-ノルムは $ L^p $-ノルムに対して相対的に最小化され、幾何的極値性が顕在化する。