[論文レビュー] An Itô Formula for rough partial differential equations and some applications

Antoine Hocquet, Torstein Nilssen|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 52被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Sobolevに基づく制御パス空間を用いて、微分的粗いパスによって駆動される粗い放物型PDEのための新しい枠組みを提案する。F ∈ C² である Nemytskii作用素 F(u) に対する Itô 公式を確立し、一般化された Moser の反復法を用いて局所有界性を証明し、幾何的および強制的仮定の下で L^p-解に対する合成則を導出し、流れ変換を用いずに存在性、一意性および弱最大原理を確立する。

ABSTRACT

We investigate existence, uniqueness and regularity for solutions of rough parabolic equations of the form $\partial _tu-A_tu-f=(\dot X_t(x) \cdot abla + \dot Y_t(x))u$ on $[0,T] imes\mathbb{R}^d.$ To do so, we introduce a concept of "differential rough driver", which comes with a counterpart of the usual controlled paths spaces in rough paths theory, built on the Sobolev spaces $W^{k,p}.$ We also define a natural notion of geometricity in this context, and show how it relates to a product formula for controlled paths. In the case of transport noise (i.e.\ when $Y=0$), we use this framework to prove an Itô Formula (in the sense of a chain rule) for Nemytskii operations of the form $u\mapsto F(u),$ where $F$ is $C^2$ and vanishes at the origin. Our method is based on energy estimates, and a generalization of the Moser Iteration argument to prove boundedness of a dense class of solutions of parabolic problems as above. In particular, we avoid the use of flow transformations and work directly at the level of the original equation. We also show the corresponding chain rule for $F(u)=|u|^p$ with $p\geq 2,$ but also when $Y eq 0$ and $p\geq 4.$ As an application of these results, we prove existence and uniqueness of a suitable class of $L^p$-solutions of parabolic equations with multiplicative noise. Another related development is the homogeneous Dirichlet boundary problem on a smooth domain, for which a weak maximum principle is shown under appropriate assumptions on the coefficients.

研究の動機と目的

• 多重粗いノイズを伴う確率的PDEにおける安定性および直接的解析の欠如を解消するため、流れ変換技術を避ける。
• Sobolev空間 W^{k,p} における微分的粗い駆動子を伴う粗い放物型方程式のための関数解析的枠組みを構築する。
• F ∈ C² かつ原点で0となる条件下で、粗いPDEの文脈における Nemytskii 写像 F(u) に対する合成則（Itô 公式）を確立する。
• 乗法的ノイズを伴う粗い放物型方程式の L^p-解に対して、存在性、一意性および弱最大原理を確立する。
• Moser の反復法を一般化し、粗いPDEにおける解の L^∞-ノルムを制御することで、稠密な解のクラスの有界性を保証する。

提案手法

• 微分的粗い駆動子を、Sobolev空間に作用する作用素族として導入し、粗いパス理論をPDEに一般化する。
• Sobolev空間 W^{k,p} における制御パスを定義し、粗い放物型方程式のための新たなクラス \mathcal{H}^{\alpha,p}_B を構築する。
• 一般化された部分積分法および剰余項の推定を用いて、\mathcal{H}^{\alpha,p}_B 内の制御パスの積の公式を確立する。
• エネルギー推定および一般化された Moser の反復スキームを用いて、L^p-設定における解の局所的有界性を証明する。
• エネルギー法および双対性を用いて、確率的流れを避け、元の方程式に対する直接的推定に依拠して、F(u) に対する Itô 公式を導出する。
• 粗い駆動子の幾何的および強制的仮定の下で、同次Dirichlet問題に対する弱最大原理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分的粗いパスによって駆動されるSobolev空間における粗い放物型PDEの適切な解の概念とは何か？
• RQ2 確率的流れ変換を用いずに、F ∈ C² である Nemytskii 写像 F(u) に対する合成則（Itô 公式）をどのように導出できるか？
• RQ3 乗法的ノイズを伴う粗い放物型方程式の L^p-解の局所的有界性を保証する条件は何か？
• RQ4 粗い駆動子の幾何的性質が、制御パス枠組みにおける積の公式および括弧構造にどのように関係するか？
• RQ5 非幾何的駆動子の場合に標準的なエネルギー推定が失敗する理由としての括弧 [B]_{st} = B^2_{st} - \frac{1}{2}B^1_{st} \circ B^1_{st} の役割は何か？

主な発見

• F ∈ C² かつ F(0) = 0 である条件下で、輸送ノイズ（Y = 0）を伴う粗い放物型方程式の解に対して、エネルギー推定および Moser の反復法を用いて、新たな Itô 公式を確立した。
• F(u) = |u|^p の場合、輸送ノイズの場合は p ≥ 2、Y ≠ 0 の場合は p ≥ 4 の範囲で合成則が成り立ち、Itô 公式の適用範囲を拡張した。
• 一般化された Moser の反復法を用いて、稠密な L^p-解のクラスの局所的有界性を証明し、滑らかな近似を要件としない L^∞-有界性を保証した。
• 微分的粗い駆動子の H^{-1}-強制的および幾何的性質の下で、粗い放物型方程式の L^p-解の存在性および一意性を確立した。
• 適切な係数の仮定および駆動子の幾何的性質の下で、滑らかな領域における同次Dirichlet問題に対して弱最大原理を証明した。
• 括弧 [B]_{st} が、B^2_{st} - \frac{1}{2}B^1_{st} \circ B^1_{st} として定義され、駆動子が幾何的である場合には D^1 に値をとることを示し、その非消滅性は作用素代数における非可換性を反映している。