[論文レビュー] An iterative algorithm for evaluating approximations to the optimal exercise boundary for a nonlinear Black-Scholes equation

Daniel Ševčovič|ArXiv.org|Oct 28, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、原資産価格およびオプションのガンマ（2階微分）に依存するボラティリティを伴う非線形ブラック・ショールズモデルにおけるアメリカン・オプションの早期行使境界を近似する反復的数値アルゴリズムを提案する。自由境界問題を、非線形代数的制約を伴う固定領域における非線形放物型PDEに変換することで、オペレータ分割を用いて境界を反復的に解く手法を採用した。非線形性（取引コストやリスク回避性など）の影響により境界が顕著にシフトすることが示され、RAPMおよびバールス・ソナー・モデルではそれぞれ $ O(R^{1/3}) $ および $ O(a^{2/3}) $ の収束率を示した。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to analyze and compute the early exercise boundary for a class of nonlinear Black--Scholes equations with a nonlinear volatility which can be a function of the second derivative of the option price itself. A motivation for studying the nonlinear Black--Scholes equation with a nonlinear volatility arises from option pricing models taking into account e.g. nontrivial transaction costs, investor's preferences, feedback and illiquid markets effects and risk from a volatile (unprotected) portfolio. We present a new method how to transform the free boundary problem for the early exercise boundary position into a solution of a time depending nonlinear parabolic equation defined on a fixed domain. We furthermore propose an iterative numerical scheme that can be used to find an approximation of the free boundary. We present results of numerical approximation of the early exercise boundary for various types of nonlinear Black--Scholes equations and we discuss dependence of the free boundary on various model parameters.

研究の動機と目的

• 原資産価格の2階微分（ガンマ）に依存するボラティリティを伴う非線形ブラック・ショールズ方程式におけるアメリカン・オプションの早期行使境界を近似するための堅牢な数値手法の開発。
• 取引コスト、フィードバック効果、リスク回避性といった市場摩擦に起因する非線形PDEにおける自由境界問題の挑戦への対処。
• 移動境界問題を固定領域問題に変換し、オペレータ分割を用いて解ける計算効率の良い反復的スキームの提供。
• リスクプレミアム、取引コスト、リスク回避性などのモデルパラメータが早期行使境界の位置および形状に与える感度の特定。

提案手法

• 移動境界を固定座標に写像する変換を導入することで、自由境界問題を固定空間領域上での非線形放物型PDEに再定式化する。
• 境界位置とPDE解を結ぶ非線形代数的制約を導入し、早期行使条件と整合性を保つ。
• PDEと代数的制約を分離するためにオペレータ分割技術を適用し、系の反復的解法を可能にする。
• 反復スキームは、与えられた境界推定値に基づく放物型PDEの解法と、非線形制約を用いた境界位置の更新を交互に繰り返す。
• リスク調整価格手法（RAPM）やバールス・ソナー・モデルを含む、さまざまな非線形モデルに対して数値実装を実施。
• 収束性は、非線形境界解と線形（ブラック・ショールズ）境界解との差の $ L^p $-ノルムを用いて評価され、実験的収束次数が計算された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティがオプションのガンマおよびその他のモデルパラメータに非線形的に依存する場合、アメリカン・オプションの早期行使境界はどのように変化するか？
• RQ2 取引コストやリスク回避性パラメータが0に近づく際、自由境界が古典的ブラック・ショールズ境界に収束する速度はいかなるか？
• RQ3 ボラティリティ関数の非線形構造が、特にリスク回避性やフィードバック効果を伴うモデルにおいて、早期行使境界の凸性に影響を与えるか？
• RQ4 非局所的ボラティリティを伴う非線形ブラック・ショールズ方程式における自由境界を、反復的オペレータ分割スキームが効率的かつ正確に近似できるか？
• RQ5 リスクプレミアム、取引コスト、リスク回避性といった異なるモデルパラメータが、早期行使境界の位置および形状にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 数値結果は、バールス・ソナー・モデルにおいてリスク回避性が高くなると早期行使境界が増加することを確認した。$ a \to 0 $ の極限において、$ L^2 $ および $ L^\infty $ ノルムの両方で、境界の乖離が $ O(a^{2/3}) $ のオーダーで増加することが示された。
• RAPMモデルでは、非線形境界と線形境界との距離が $ O(R^{1/3}) $ に比例し、$ R $ はリスクプレミアム係数である。これは境界の非線形的で測定可能なシフトを示している。
• 反復的アルゴリズムは安定した収束を示し、フィードバック効果や取引コストを伴う非線形ボラティリティモデルにおいても境界挙動を的確に捉えることができた。
• 数値的証拠から、バールス・ソナー・モデルにおけるリスク回避性が大きい場合、早期行使境界が凸性を失う可能性があることが示唆された。これは、定常ボラティリティ下での古典的凸性結果に挑戦するものである。
• 自由境界問題が非線形制約を伴う固定領域PDEにうまく変換され、オペレータ分割を用いた堅牢で効率的な数値解法が可能になった。
• 両モデルにおける実験的収束次数は、理論的予想とよく一致しており、数値実験から導かれた漸近的スケーリング則の妥当性を支持している。