[論文レビュー] An iterative generalized Golub-Kahan algorithm for problems in structural mechanics

Mario Arioli, Carola Kruse+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多点拘束（MPC）を伴う構造力学における対称不確定なスターリング点系を解くための反復的一般化ゴルーブ・カハン（GKB）アルゴリズムを提案する。アンクレメントド・ラグランジュ正則化と適切なスケーリングを適用することで、複雑な産業問題においても9〜10回の反復で収束を達成し、モデルサイズに依存せず、許容誤差より数桁小さい誤差が得られる。

ABSTRACT

This paper studies the Craig variant of the Golub-Kahan bidiagonalization algorithm as an iterative solver for linear systems with saddle point structure. Such symmetric indefinite systems in 2x2 block form arise in many applications, but standard iterative solvers are often found to perform poorly on them and robust preconditioners may not be available. Specifically, such systems arise in structural mechanics, when a semidefinite finite element stiffness matrix is augmented with linear multi-point constraints via Lagrange multipliers. Engineers often use such multi-point constraints to introduce boundary or coupling conditions into complex finite element models. The article will present a systematic convergence study of the Golub-Kahan algorithm for a sequence of test problems of increasing complexity, including concrete structures enforced with pretension cables and the coupled finite element model of a reactor containment building. When the systems are suitably transformed using augmented Lagrangians on the semidefinite block and when the constraint equations are properly scaled, the Golub-Kahan algorithm is found to exhibit excellent convergence that depends only weakly on the size of the model. The new algorithm is found to be robust in practical cases that are otherwise considered to be difficult for iterative solvers.

研究の動機と目的

• 構造力学における多点拘束（MPC）を伴う対称不確定スターリング点系に対して、標準的な反復解法が著しく性能を発揮しない問題に対処すること。
• 標準的なプリコンディショナが機能しない、あるいは利用できない状況においても有効な、ロバストな反復解法を開発すること。
• ゴルーブ・カハンバイディアゴナリゼーション法に、アンクレメントド・ラグランジュ正則化とスケーリングを組み合わせることで、大規模構造モデルにおいてメッシュに依存しない収束性を達成できることを示すこと。
• 実際の産業問題、特に40万自由度を超える原子炉コンfinement建屋を含む、実用的問題への検証を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 2×2ブロック形式の対称不確定スターリング点系を解くために、ゴルーブ・カハンバイディアゴナリゼーションのクレイグ版を適用する。
• アンクレメントド・ラグランジュ正則化を用いて(1,1)ブロックを安定化し、半正定値剛性行列WをM = W + A N⁻¹ Aᵀに置き換える（Nは正定値行列）。
• 変数変換を適用して右辺をシフトし、(1,1)ブロックをゼロにすることで、効率的な反復解法を可能にする。
• 条件数の改善と収束性の向上を図るため、γ = ½(min Wᵢᵢ + max Wᵢᵢ)を用いてシステムをスケーリングする。
• JuliaでGKB法を実装し、内部システムM⁻¹bの直接解法にMUMPSを用い、許容誤差τ = 1e⁻⁵およびd = 5の下界停止基準を適用する。
• GKB法を適用する前に、スパarsityと構造の改善を図るため、行列の置換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造力学における特異な(1,1)ブロックを伴う対称不確定スターリング点系に対して、ゴルーブ・カハンバイディアゴナリゼーション法を効果的に適応できるか？
• RQ2 アンクレメントド・ラグランジュ正則化と適切なスケーリングを適用した場合、GKB法の収束性がメッシュサイズに依存せずロバストに保たれるか？
• RQ3 大規模産業的構造力学問題において、GKB法の反復回数と解の精度は、直接解法と比べてどの程度優れているか？
• RQ4 実用的応用において、制約のスケーリングと安定化パラメータηの選択がGKB法の収束挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 原子炉コンフィネメント建屋モデル（m = 283,797、n = 158,928自由度）において、GKB法はわずか9反復で収束し、大規模問題へのロバスト性を示した。
• 変位解uのエネルギーノルムおよび2ノルムにおける相対誤差は、それぞれ3.39e⁻¹¹および3.8e⁻¹¹であり、ラグランジュ乗数pの誤差は1.4e⁻⁹であった。これらはすべて1e⁻⁵の許容誤差より数桁小さい。
• 安定化パrameter ηを適切に選択した場合、モデルサイズに依存しない収束が確認され、理論的予想（定理2.1）と一致した。
• 有効なシステムサイズをm+2nからmのシステムの解法にまで縮小することで、全拡張システムの直接解法と比較して効率が向上した。
• 予備的な性能分析から、逐次実行において直接MUMPS解法の2〜3倍の高速化が示唆され、大規模応用への強い可能性を示した。