[論文レビュー] An L^1 ergodic theorem with values in a nonpositively curved space via a canonical barycenter map

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非正曲率の距離空間—具体的には分離可能なバスマン空間またはバナッハ空間—に値をとる関数に対するL¹エルゴード定理を確立する。これは、一階モーメントをもつ確率測度に対する標準的なバーゲンター写像を導入することで達成される。主な結果は、可換群作用における軌道平均のバーゲンターが、点wiseおよびL¹で不変関数に収束することを示しており、測度論的・幾何学的技法を用いて、古典的バーキホフエルゴード理論を非ユークリッド的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We extend a recent result of Tim Austin (see arXiv:0905.0515) to the L^1 setting, thus providing a general version of the Birkhoff ergodic theorem for functions taking values in nonpositively curved spaces. In this setting, the notion of a Birkhoff sum is replaced by that of a barycenter along the orbit. The construction of an appropriate barycenter map is the core of this note. In particular, we solve a problem raised by K.-T. Sturm showing that local compactness for the underlying space is superfluous for the construction (this extends a result of A. Es-Sahib and H. Heinich). As a byproduct of our construction, we prove a fixed point theorem for actions by isometries on a Buseman space.

研究の動機と目的

• 非正曲率の距離空間における古典的L¹エルゴード定理を、ベクトル空間ではなく幾何学的空間（曲率制約付き）に値をとる関数へと拡張すること。
• 分離可能なバスマン空間上における一階モーメントをもつ確率測度のためのバーゲンター写像を構成し、局所コンパクト性を仮定する従来の確率的アプローチの制限を克服すること。
• 可換群作用における軌道平均のバーゲンターの収束を、点wiseおよびL¹の両意味で確立し、古典的バーキホフ定理を一般化すること。
• 新しいバーゲンター構成を用いて、厳密凸性を仮定しないバスマン空間上における等長写像のコンパクト群が固定点を持つことを証明すること。

提案手法

• 分離可能なバスマン空間 $ X $ 上で一階モーメントをもつ確率測度のための標準的バーゲンター写像 $ bar^* : P^1(X) \to X $ を定義する。これは、点への距離の積分を最小化する点として定義される。
• バーゲンター写像 $ bar^* $ が1-Wasserstein距離に関して1-Lipschitzであることを証明し、安定性および収束解析を可能にする。
• 可換群のトゥメッドFølner列を用いて、$ \varphi(T^g \omega) $ の平均から形成される経験的測度にバーゲンター写像を適用する。
• バーゲンター写像の収縮性を用いて、バーゲンターの収束を、実数値関数の収束に還元し、リンデンストラウスの点wiseエルゴード定理を適用可能にする。
• 単純関数による近似と、リンデンストラウスの定理に基づく最大不等式を用いて、振動を制御し、ほとんど確実な収束を証明する。
• 三角不等式と近似を用いて、バーゲンター写像の列が $ L^1 $-ノルムにおいてコーシー列であることを示すことで、$ L^1 $ 収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が $ L^1 $ に属する場合、値がユークリッド空間ではなく非正曲率の距離空間にある場合に、古典的バーキホフエルゴード定理を拡張できるか？
• RQ2 バスマン空間上での $ P^1(X) $（一階モーメントをもつ確率測度の空間）に対して、1-Wasserstein距離に関して1-Lipschitzである標準的バーゲンター写像が存在するか？
• RQ3 可換群作用における軌道平均のバーゲンターが、ほとんど確実かつ $ L^1 $ で不変関数に収束するか？この幾何的設定において。
• RQ4 新しいバーゲンター構成を用いて、厳密凸性を仮定しないバスマン空間上における等長写像のコンパクト群が固定点を持つことを証明できるか？

主な発見

• 空間 $ P^1(X) $ 上の標準的バーゲンター写像 $ bar^* $ は、1-Wasserstein距離に関して1-Lipschitzであり、一階モーメントをもつ測度のための頑健な幾何的平均を提供する。
• トゥメッドFølner列に沿った平均経験測度のバーゲンターは、$ L^1 $ 内でほとんど everywhere で不変関数に点wise収束する。これは古典的バーキホフ定理の一般化である。
• 収束は分離可能なバナッハ空間および分離可能なバスマン空間の両方で成り立ち、$ \mathbb{R} $ の場合にはバーゲンターが標準的な算術平均に還元される。
• 従来の研究で要請されていた有限局所コンパクト性の仮定を回避し、Sturm (2007, 例6.5) で提起された問題を解決する。
• 新しいバーゲンター構成を用いて、$ bar^* $ 写像とその不変性を用いることで、バスマン空間上における等長写像のコンパクト群が固定点を持つことを証明する。
• $ L^1 $ 収束は、単純関数による近似と1-Wasserstein距離のための最大不等式に依拠したコーシー判定基準によって確立される。