[論文レビュー] An L^2-Index Theorem for Dirac Operators on S^1 * R^3

Tom M. W. Nye, Michael A. Singer|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、$S^1 \times \mathbb{R}^3$ 上の $U(n)$ 接続と結合したディラック作用素に対して、$L^2$-インデックス定理を確立する。Calliasのインデックス定理と除去論法を用いて、境界問題に帰着させる。主な結果は、$L^2$-インデックスが $X$ 上でのチャーン類積分と、境界 $S^1 \times S^2$ のアディアバティック極限における $\eta$-不変量を含む項の和として表されることであり、この項は接続の無限遠におけるホロノミーと曲率から来る位相的データを捉えている。

ABSTRACT

An expression is found for the $L^2$-index of a Dirac operator coupled to a connection on a $U_n$ vector bundle over $S^1 imes{\mathbb R}^3$. Boundary conditions for the connection are given which ensure the coupled Dirac operator is Fredholm. Callias' index theorem is used to calculate the index when the connection is independent of the coordinate on $S^1$. An excision theorem due to Gromov, Lawson, and Anghel reduces the index theorem to this special case. The index formula can be expressed using the adiabatic limit of the $η$-invariant of a Dirac operator canonically associated to the boundary. An application of the theorem is to count the zero modes of the Dirac operator in the background of a caloron (periodic instanton).

研究の動機と目的

• $S^1 \times \mathbb{R}^3$ 上のユニタリ接続 $A$ を持つキラルディラック作用素 $D_A^+$ の $L^2$-インデックス公式を導出すること。
• $D_A^+$ が $L^2$ でフレドホルムとなるような $A$ に関する境界条件を特定すること。
• $L^2$-インデックスを位相的不変量、特にチャーン類とアディアバティック極限における $\eta$-不変量を含む境界項で表すこと。
• 結果をカルォロン（周期的インスタントン）の背景におけるディラック作用素のゼロモード数の計算に応用し、インデックス理論とゲージ理論を結びつけること。

提案手法

• 接続 $A$ が $S^1$-座標に依存しない場合に $L^2$-インデックスを計算するため、Calliasのインデックス定理を用い、問題を境界インデックス計算に還元すること。
• Gromov, Lawson, Anghel による除去定理を適用し、一般の場合を $A$ が $S^1$ に依存しない特別な場合に還元することで、Calliasの結果の適用を可能にすること。
• 境界 $\partial X = S^1 \times S^2_\infty$ 上でのアディアバティック極限における $\eta$-不変量を、$S^1$ ファイバーを縮小させる族 $g_\epsilon$ の計量を考察することによって定義すること。
• 公式 $\overline{\eta}_{\text{lim}} = \frac{1}{2\pi i} \int_{S^2_\infty} \hat{\eta}$ を用いて、極限 $\overline{\eta}_{\text{lim}} = \lim_{\epsilon \to 0} \overline{\eta}(D_\epsilon)$ を計算すること。ここで $\hat{\eta}$ は、ディラック作用素と曲率を含むファイバー $S^1$ 上の積分である。
• 境界上での接続と自己準同型 $\Phi$ を固有バンドル $E_\mu$ に分解し、$\eta$-不変量の寄与 $\eta_\mu = 1 - \frac{2\epsilon_\mu}{\mu_0}$ を計算すること。ここで $\epsilon_\mu$ は固有値 $\mu$ を $\mu_0$ で割ったときの小数部である。
• 体積上のチャーン類項 $\int_X \text{ch}(\mathbb{E})$ と境界項 $-\frac{1}{2}\overline{\eta}_{\text{lim}}$ を組み合わせ、最終的なインデックス公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な境界条件の下で、$S^1 \times \mathbb{R}^3$ 上の $U(n)$ 接続と結合したディラック作用素の $L^2$-インデックスは何か？
• RQ2 境界付近の幾何が円柱的でない（すなわち $b$-計量でない）場合、$L^2$-インデックスはどのように計算できるか？
• RQ3 アディアバティック極限における $\eta$-不変量が、境界上の位相的データでインデックスを表現する際に果たす役割は何か？
• RQ4 $b$-計量構造が存在しない場合でも、インデックス公式が、アティヤ＝パトディ＝サインターのインデックス定理の一般化と見なせるか？
• RQ5 インデックスはカルォロン（周期的インスタントン）の背景におけるディラック作用素のゼロモード数とどのように関係するか？

主な発見

• $S^1 \times \mathbb{R}^3$ 上のキラルディラック作用素 $D_A^+$ の $L^2$-インデックスは、$\text{ind}(D_A^+) = \int_X \text{ch}(\mathbb{E}) - \frac{1}{2}\overline{\eta}_{\text{lim}}$ で与えられ、ここで $\overline{\eta}_{\text{lim}}$ は境界 $S^1 \times S^2_\infty$ 上でのアディアバティック極限における $\eta$-不変量である。
• 境界項 $\overline{\eta}_{\text{lim}}$ は、$-\frac{2}{\mu_0} \sum_\mu \epsilon_\mu c_1(E_\mu)[S^2_\infty]$ として計算され、ここで $\epsilon_\mu$ は自己準同型 $\Phi_\infty$ の固有値 $\mu$ を $\mu_0$ で割ったときの小数部である。
• インデックス公式は $\text{ind}(D_A^+) = \int_X \text{ch}(\mathbb{E}) + \frac{1}{\mu_0} \sum_\mu \epsilon_\mu c_1(E_\mu)[S^2_\infty]$ と同値であり、インデックスが無限遠における接続の分数的ホロノミーに依存することを示している。
• 位相的恒等式により $\sum_\mu c_1(E_\mu)[S^2_\infty] = 0$ であるため、式が簡略化され、$\eta$-不変量の計算と整合的になる。
• 最終的なインデックス公式は、アティヤ＝パトディ＝サインターのインデックス定理に類似しており、ファイブレッド・カスプまたはファイブレッド・バウンダリー構造を持つ多様体へのより広い適用可能性を示唆している。
• 結果により、カルォロン（周期的インスタントン）の背景におけるディラック作用素のゼロモードが正確に数えられ、インデックスはチャーン類の和と、接続の漸近的ホロノミーからの位相的補正項の和に等しい。