[論文レビュー] An $L^p$-theory of non-divergence form SPDEs driven by Lévy processes

Zhen-Qing Chen, Kyeong-Hun Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般のリーヴィ過程によって駆動される非発散型形式の確率偏微分方程式（SPDE）について、クリロフの研究にインspiredされた解析的手法を用いて、$L^p$-理論を確立する。$p \in [2,\infty)$ に対して、ソボレフ空間 $H^n_p$ における解の存在、一意性、および事前推定を証明し、古典的な $L^2$-理論をより高い可積分性へと拡張し、1階空間微分を含む確率的項を許容する。

ABSTRACT

In this paper we present an $L^p$-theory for the stochastic partial differential equations (SPDEs in abbreciation) driven by Lé{}vy processes. Existence and uniqueness of solutions in Sobolev spaces are obtained. The coefficients of SPDEs under consideration are random functions depending on time and space variables.

研究の動機と目的

• 一般のリーヴィ過程によって駆動される、確率的係数を有する非発散型形式のSPDEの包括的な $L^p$-理論を構築すること。これは、ウィーナー過程によって駆動される方程式にとどまらない拡張を目的とする。
• リーヴィ測度に最小限の可積分性仮定を課したもとで、$p \in [2,\infty)$ および $n \in \mathbb{R}$ に対して、ソボレフ空間 $H^n_p$ における解の存在と一意性を確立すること。
• 係数および自由項を時間と空間に依存する確率関数として許容し、確率的項に1階空間微分を含めることを可能とし、これは先行研究ではカバーされていなかった。
• 既存の $L^2$-理論結果をより高い $L^p$ 可積分性へ一般化し、解のより強い正則性推定を可能とすること。

提案手法

• クリロフのSPDE $L^p$-理論に基づく解析的アプローチを採用し、事前推定と連続性の方法を用いて解の存在と一意性を証明する。
• 係数および外力項がフィルトレーションに適応的で、予測可能 $\sigma$-代数に関して可測であるという意味での分布の意味での弱解を定義する。
• 滑らかな切り捨て関数 $\zeta_n$ を用いた局所化技術により、解を局所化し、$L^p$-型ソボレフノルムに基づくエネルギー型推定を導出する。
• 伊藤の公式およびリーヴィ過程の確率積分理論を適用し、ジャンプ成分と拡散成分に分離するリーヴィ＝イト分解を用いる。
• 埋め込み不等式およびグロワールの不等式を用いて、$\mathbb{H}^{\gamma+2}_p$ および $\mathbb{H}^{\gamma+2}_2$ ノルムにおける事前推定を閉じる。
• 連続性の方法および定数係数SPDEに関する結果（定理3.5）を活用し、変数係数の場合を事前推定に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーヴィ過程（ジャンプを含み、非ゼロのリーヴィ測度を持つものも含む）によって駆動される非発散型SPDEに対して、$L^p$-理論を構築することは可能か？
• RQ2 古典的な $L^2$-理論を拡張し、$p > 2$ に対してもソボレフ空間 $H^n_p$ における解の存在と一意性を確立することは可能か？
• RQ3 係数が確率的であり、駆動過程が一般のリーヴィ過程である場合に、SPDEの確率的項に1階空間微分を含めるにはどうすればよいか？
• RQ4 リーヴィ測度に最小限の可積分性条件を課したもとで、$L^p$-型ソボレフノルムにおけるこのようなSPDEの事前推定はどのように導出可能か？

主な発見

• 本稿は、$p \in [2,\infty)$ に対して、リーヴィ過程によって駆動される非発散型SPDEの $L^p$-理論を確立し、$p=2$ に限らない。これにより、解のより強い正則性結果が得られる。
• $\mathbb{H}^{\gamma+2}_p$-型ノルムにおける事前推定が証明され、適切な可積分性および強楕円的条件のもとで、ソボレフ空間 $H^n_p$ における解の存在と一意性が得られる。
• 確率的項に1階空間微分（$\sigma^{ik}u_{x^i}$）を含めることを許容する理論が構築され、これは多数の先行研究で除外されていた。
• $L^p$-理論は確率的係数および自由項へと拡張され、$\sigma^{ik} \neq 0$ であっても成立する。これは、従来の研究に対する顕著な一般化である。
• 解 $u$ が事前推定 $\|u\|_{\mathcal{H}^{\gamma+2}_p(T)} \leq c\left(\|f\|_{\mathbb{H}^{\gamma}_p(T)} + \|g\|_{\mathbb{H}^{\gamma+1}_p(T,\ell^2)} + \|u_0\|_{U^{\gamma+2}_p}\right)$ を満たすことを証明し、定数は $u$ に依存しない。
• 特に、確率的熱方程式 $du = \Delta u\,dt + g\,dZ_t$ に対しても、$p \in [2,\infty)$ に対して $L^p(\Omega \times [0,T], H^n_p)$ における可解性が確立される。これは $p=2$ の場合に限らない、全く新しい結果である。