[論文レビュー] An $L_q(L_p)$-theory for the time fractional evolution equations with variable coefficients

Ildoo Kim, Kyeong-Hun Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$L_q(L_p)$-理論を、変数係数を有する準線形時間分数進化方程式に対して、$\alpha \in (0,2)$ の Caputo 分数階微分を用いて、主要係数の正則性を最小限にした仮定のもとで確立する。古典的 PDE 手法（Marcinkiewicz の補間、Calderón-Zygmund 理論、摂動議論）を組み合わせることで、係数が時間に関して不連続であっても、解の存在、一意性、および鋭い $L_q(L_p)$-推定式を証明する。

ABSTRACT

We introduce an $L_q(L_p)$-theory for the quasi-linear fractional equations of the type $$ \partial^α_t u(t,x)=a^{ij}(t,x)u_{x^i x^j}(t,x)+f(t,x,u), \quad t>0, \,x\in \mathbf{R}^d. $$ Here, $α\in (0,2)$, $p,q>1$, and $\partial^α_t$ is the Caupto fractional derivative of order $α$. Uniqueness, existence, and $L_q(L_p)$-estimates of solutions are obtained. The leading coefficients $a^{ij}(t,x)$ are assumed to be piecewise continuous in $t$ and uniformly continuous in $x$. In particular $a^{ij}(t,x)$ are allowed to be discontinuous with respect to the time variable. Our approach is based on classical tools in PDE theories such as the Marcinkiewicz interpolation theorem, the Calderon-Zygmund theorem, and perturbation arguments.

研究の動機と目的

• 変数係数を有する準線形時間分数進化方程式に対する包括的な $L_q(L_p)$-理論の構築を目的とする。
• 係数に関する正則性仮定を最小限にしたもとで、解の存在、一意性、および $L_q(L_p)$-推定式の証明を目的とする。
• 主要係数 $a^{ij}(t,x)$ が時間に関して不連続であっても、空間に関して一様連続であることを許容することを目的とする。
• 既存の結果を一般化し、$\alpha$, $p$, $q$ に関する制限的な代数的条件を排除するとともに、ヒルベルト空間や作用素論的枠組みを避けることを目的とする。

提案手法

• 時間分数拡散および波動現象をモデル化するため、$\alpha \in (0,2)$ の Caputo 分数階微分 $\partial_t^\alpha$ を用いる。
• 解の平均振動（BMO）制御から $L_p$-推定式を導くために、Marcinkiewicz の補間定理を適用する。
• 定数係数方程式の解のカーネルに関する Calderón-Zygmund 定理を用いて、$L_p$-推定式を $L_q(L_p)$-枠組みへ拡張する。
• 変数係数を定数係数作用素の小さな $L_p$-摂動とみなすことにより、摂動議論を用いて扱う。
• 基本解を解析するため、Mittag-Leffler 関数 $E_\alpha(-t^\alpha |\xi|^2)$ を含む表現公式に依存する。
• 留数解析と特殊関数の推定式を用いて、$R = |x|$ における漸近展開を用いて、基本解 $p(t,x)$ 及びその時間微分 $q(t,x)$ の導関数の点ごとの有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に関して不連続な変数係数を有する時間分数進化方程式に対して、$L_q(L_p)$-理論を構築することは可能か？
• RQ2 係数 $a^{ij}(t,x)$ に対して最小限の正則性条件を課した場合でも、解の存在、一意性、および $L_q(L_p)$-推定式が保証されるための条件は何か？
• RQ3 Marcinkiewicz の補間や Calderón-Zygmund 理論といった古典的 PDE 手法を、分数階時間微分の設定にどのように適合させられるか？
• RQ4 $\alpha$, $p$, $q$ に代数的制約を課さずに、$L_p$-理論を $L_q(L_p)$-設定へどの程度拡張できるか？
• RQ5 特に原点近傍において、基本解およびその導関数の点ごとの正確な挙動は何か？

主な発見

• 方程式 $\partial_t^\alpha u = a^{ij}(t,x)u_{x^i x^j} + f(t,x,u)$ の解は、$p,q > 1$ および $\alpha \in (0,2)$ のもとで、$L_q(L_p)$-枠組みにおいて一意に存在する。
• 二階空間微分 $D_x^2 u$ 及び一階時間微分 $\partial_t u$ の $L_q(L_p)$-ノルムは、解空間に一様に、$f(t,x,0)$ の $L_q(L_p)$-ノルムによって制御される。
• 主要係数 $a^{ij}(t,x)$ は時間に関して不連続であってもよく、空間に関しては一様連続であることが許容され、従来の結果を顕著に一般化する。
• 導関数 $\partial_t^n D_x^m q(t,x)$ に対する点ごとの有界性が確立された：$R = |x| \leq 1$ に対して、$|\partial_t^n D_x^m q(t,x)| \leq N |x|^{-d-m} t^{-n+\alpha-1} (R^2 + R^2 \ln R \cdot \mathbf{1}_{d=2})$ が成り立ち、$N$ は $d$, $m$, $n$, $\alpha$ のみに依存する。
• 基本解 $p(t,x)$ は、$t \neq 0$, $x \neq 0$ において分布的意味で $\partial_t^\alpha p = \Delta p$ および $\partial_t p = \Delta q$ を満たすことが、部分積分および Parseval の恒等式により検証された。
• $H^\infty$-関数計算や作用素論的枠組みを避けて、BMO 推定式や Calderón-Zygmund 理論によるカーネルの $L_p$-有界性に依存する実変数的手法に依拠する。