[論文レビュー] An lp-boundedness of stochastic singular integral operators and its application to spdes

Ildoo Kim, Kyeong-Hun Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ウィーナー過程によって駆動される確率的特異積分作用素の $L_p$-有界性基準を確立し、カルデロン＝ジムンド理論を確率的設定に一般化するための確率的ホルマン条件を導入する。主な結果として、この条件下で $p \geq 2$ の場合に $L_p$-有界性が保証され、非滑らかなカーネルをもつ広範なクラスの確率的偏微分方程式（SPDE）における最大正則性推定が可能になる。

ABSTRACT

In this article we introduce a stochastic counterpart of the Hörmander condtion on the kernel $K(r,t,x,y)$: there exists a pseudo-metric $ρ$ on $(0,\infty) imes R^d$ and a positive constant $C_0$ such that for $X=(t,x), Y=(s,y), Z=(r,z) \in (0,\infty) imes R^d$, $$ \sup_{X,Y}\int_{0}^\infty \left[ \int_{ρ(X,Z) \geq C_0 ρ(X,Y)} | K(r,t, z,x) - K(r,s, z,y)| ~dz ight]^2 dr

研究の動機と目的

• 古典的なカルデロン＝ジムンド理論を確率的設定に拡張するため、ホルマン条件の確率的類似形を定式化すること。
• $p \geq 2$ の場合に、$\mathbb{T}g(t,x) = \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} K(t,s,x,y)g(s,y)dydW_s$ の形をした確率的特異積分作用素の $L_p$-有界性を確立すること。
• 滑らかでないカーネルをもつ広範なクラスの確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、最大 $L_p$-正則性推定を導出すること。
• クリロフの微分可能性要請や $H^\infty$-計算の制約といった従来の手法の限界を克服するため、より一般な枠組みを導入すること。

提案手法

• $(0,\infty) \times \mathbb{R}^d$ 上の準距離 $\rho$ と定数 $C_0$ を含む確率的ホルマン条件を提案し、 dyadic レベル集合上でのカーネル差の均一可積分性を保証する。
• ストキャスティック積分の $L_p$-ノルムを最大関数推定によって制御するための主要な技術的道具として、放物型リトルウッド＝パイルの不等式を確立する。
• 放物型リトルウッド＝パイルの不等式を用いて、確率的ホルマン条件の下で確率的特異積分作用素 $\mathbb{T}$ の $L_p$-有界性を証明する。
• dyadic 分解とカーネル差の推定を用いて、時間と空間における積分作用素の $L^2$-ノルムを制御し、準距離構造を活用する。
• 主要な有界性結果を特定の SPDE に適用し、符号 $\phi(\Delta)^{1/2}$ をもつ擬微分作用素によって駆動される方程式に対して、確率的ホルマン条件を検証する。
• カーネル $K(t-r,z,x) = \mathbf{1}_{\{0<r<t<T\}} \phi(\Delta)^{1/2}p(t-r,x-z)$ が、$X,Y \in (0,T) \times \mathbb{R}^d$ に対して一様に確率的ホルマン条件を満たすことを示し、このような方程式における最大正則性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \geq 2$ の場合に、確率的特異積分の $L_p$-有界性を保証するためのホルマン条件の確率的類似形を定式化できるか？
• RQ2 提案された確率的ホルマン条件は、微分可能でないカーネルや解析的半群生成子に限定されない既存の $L_p$-理論を一般化するか？
• RQ3 カーネル差の最小限の可積分性仮定の下で、確率的特異積分作用素 $\mathbb{T}g(t,x) = \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} K(t,s,x,y)g(s,y)dydW_s$ が $\mathbb{L}_p = L_p(\Omega \times (0,\infty); L_p(\mathbb{R}^d))$ 上で有界であることを示せるか？
• RQ4 確率的ホルマン条件は、滑らかでないかマルコフ的でないカーネルをもつ SPDE に対して最大 $L_p$-正則性を導くのに十分か？
• RQ5 カーネルが点での微分可能性を欠いても、符号 $\phi(\Delta)^{1/2}$ をもつ擬微分作用素によって駆動される SPDE にこの枠組みを適用できるか？

主な発見

• 確率的ホルマン条件が、作用素が $\mathbb{L}_2$ 上で有界である限り、すべての $p \geq 2$ に対して確率的特異積分作用素 $\mathbb{T}$ の $\mathbb{L}_p$ 上での $L_p$-有界性を保証する。
• 放物型リトルウッド＝パイルの不等式が中心的な技術的道具として確立され、ストキャスティック積分の $L_p$-ノルムを最大関数推定によって制御可能である。
• カーネル $K(t-r,z,x) = \mathbf{1}_{\{0<r<t<T\}} \phi(\Delta)^{1/2}p(t-r,x-z)$ は、$X,Y \in (0,T) \times \mathbb{R}^d$ に対して一様に確率的ホルマン条件を満たし、その境界は $d$ と仮定 5.14 の定数にのみ依存する。
• カーネル差の推定 $\int_0^T \left[ \int_{A(r,X,Y)} |\phi(\Delta)^{1/2}p(t-r,x-z) - \phi(\Delta)^{1/2}p(s-r,y-z)| dz \right]^2 dr \leq N$ が一様に成り立ち、$A(r,X,Y)$ は準距離 $\rho$ を用いて定義される。これにより条件の有効性が確認される。
• SPDE に対する最大 $L_p$-正則性結果は、主定理を用いて確立され、クリロフの微分可能性要請や $H^\infty$-計算の制約を越える。
• この枠組みは、非マルコフ的かつ非滑らかなカーネルをもつ広範なクラスの SPDE に適用可能であり、$\phi(\Delta)^{1/2}$ を含むような方程式に対しても、既知の $L_p$-理論における結果を一般化する。