[論文レビュー] An MsFEM type approach for perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 64

ひとこと要約

本稿では、泡関数を含むCrouzeix-Raviart型非連続有限要素を用いて、穿孔領域上の楕円型問題に対する多スケール有限要素法（MsFEM）を提案する。この手法は、任意の穿孔分布に対してロバストであり、数値実験において既存のMsFEM変種を著しく上回り、泡関数の拡張によって精度が向上することで、最適な収束速度を達成する。

ABSTRACT

We follow up on our previous work [C. Le Bris, F. Legoll and A. Lozinski, Chinese Annals of Mathematics 2013] where we have studied a multiscale finite element (MsFEM) type method in the vein of the classical Crouzeix-Raviart finite element method that is specifically adapted for highly oscillatory elliptic problems. We adapt the approach to address here a multiscale problem on a perforated domain. An additional ingredient of our approach is the enrichment of the multiscale finite element space using bubble functions. We first establish a theoretical error estimate. We next show that, on the problem we consider, the approach we propose outperforms all dedicated existing variants of MsFEM we are aware of.

研究の動機と目的

• 高振動係数を有する穿孔領域上の楕円型問題に対して、ロバストな多スケール有限要素法を開発すること。
• 標準的なメッシュ生成が困難な、任意の非周期的またはランダムな穿孔分布の課題に対処すること。
• 有限要素空間に泡関数を組み込むことで、既存のMsFEM変種の精度を向上させること。
• 穿孔幾何の一般仮定の下で、提案手法の理論的誤差推定を確立すること。
• 数値実験を通じて、拡張されたMsFEMが穿孔領域に特化した既知のすべてのMsFEM変種を上回ることを示すこと。

提案手法

• 手法は、要素辺における平均フラックス条件を用いて弱い連続性を強制するCrouzeix-Raviart型非連続有限要素を採用する。
• 多スケール基底関数は、各粗いメッシュ要素上で局所的ノイマン問題を解くことで構築され、周囲の穿孔の影響を組み込む。
• 近似の改善と局所誤差制御の向上を目的に、有限要素空間に泡関数を追加する。
• 境界層効果を扱うために、均質化解とカットオフ関数を含む補正項を導入する。
• 重み付きエネルギー推定とPoincaré型不等式を用いて、H1ノルムにおける収束速度を導出する。
• 最小限の正則性仮定の下で理論的誤差境界を導出し、H1誤差の最適収束速度O(ε^{3/2})を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非周期的穿孔を持つ領域における高振動係数を有する楕円型問題に適用した場合、多スケール有限要素法が精度と安定性を保つことができるか？
• RQ2 泡関数の追加が、穿孔領域におけるMsFEMの収束性とロバスト性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案されたMsFEM変種は、穿孔領域に特化した既存のMsFEM手法を上回る精度を達成できるか？
• RQ4 本手法のH1ノルムにおける理論的収束速度は何か？また、穿孔のサイズと分布にどのように依存するか？
• RQ5 穿孔が粗いメッシュの辺と交差する場合でも、特別なメッシュ整列を要せず、性能を維持できるか？

主な発見

• 泡関数の拡張を施した提案MsFEMは、理論的解析によりH1ノルムにおいて最適収束速度O(ε^{3/2})を達成する。
• 広範な数値実験において、穿孔領域に特化した既知のすべてのMsFEM変種よりも優れた精度を示す。
• 泡関数の使用は、特に複雑または不規則な穿孔パターンを有する領域で誤差を顕著に低減する。
• 穿孔が粗いメッシュの辺と交差する場合でも、特別なメッシュ生成を要せず、ロバスト性を維持する。
• 最小限の正則性仮定の下で理論的誤差境界が確立され、誤差はfおよびその微分を含むノルムによって制御される。
• 本手法は周期的および非周期的穿孔配置の両方に対応可能であり、ランダムまたは不均質なミクロ構造に対しても適応可能である。