[論文レビュー] An NP-hardness Result on the Monoid Frobenius Problem

Zhi Xu, Jeffrey Shallit|ArXiv.org|May 27, 2008

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正規表現 $E^*$ がコファイニート（つまり、十分に長い文字列をすべて含む）かどうかを判定することは、入力が正規表現による圧縮形式で与えられても、NP困難であることを証明している。この結果は、3SAT からの多項式時間還元によって確立され、3CNF 公式の充足可能性と $E^*$ がコファイニートでないことは同値であり、問題が PSPACE に属することも示されている。

ABSTRACT

The following problem is NP-hard: given a regular expression $E$, decide if $E^*$ is not co-finite.

研究の動機と目的

• 正規表現を用いて圧縮された形で与えられた入力語の集合に対して、モノイドフロベニウス問題の計算複雑性を調査すること。
• 正規表現 $E$ が生成する言語 $E^*$ が、アルファベット上における十分に長い文字列をすべて含むかどうか、すなわちコファイニートかどうかを特定すること。
• 入力が正規表現であるという制約のもとで、$E^*$ がコファイニートでないことを判定することは NP 困難であることを確立すること。
• 問題が PSPACE に属することを示し、圧縮されたモノイドフロベニウス問題の複雑度分類を完成させること。

提案手法

• 3SAT のインスタンスからスターフリーな正規表現 $E$ を構築し、$Σ = \{T, F\}$ 上の文字列として節を符号化する。ここで各節はリテラルの論理和に対応する。
• $E = E' + E''(T+F)$ と定義する。ここで $E'$ は節を符号化し、$E'' = (T+F)^n$ はすべての変数の割り当てを表す。
• 補題 3 を用いて、$E^*$ がコファイニートでないのは $E' \neq E''$ のときに限り、これは 3SAT インスタンスが充足可能であるときに正確に成立することを示す。
• 3SAT から $E^*$ がコファイニートかどうかを判定する問題への多項式時間還元を構築し、NP 困難性を証明する。
• 正規表現 $E$ の長さを $t$ とすると、$E^*$ をシミュレートするサイズ $O(t+1)$ の NFA を構築する。
• Savitch の定理を用いて、$n = 2^{t+1}$ に対して $[n, 2n)$ の長さの受理されない文字列の存在を確認することで、問題が PSPACE に属することを示す。この確認には多項式空間を用いて状態の到達可能性を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規表現 $E$ が与えられたとき、$E^*$ がコファイニートかどうかを判定することは、NP 困難であるか？

主な発見

• 入力が二文字アルファベット上の正規表現であり、言語が正確に二つの長さの文字列からなる場合でさえ、$E^*$ がコファイニートかどうかを判定する問題は NP 困難である。
• 3SAT からの多項式時間還元によって NP 困難性が確立され、3SAT インスタンスが充足可能であることと $E^*$ がコファイニートでないことは同値である。
• 長さ $n = 2^{t+1}$ の範囲 $[n, 2n)$ における受理されない文字列の存在は多項式空間で確認できるため、問題は PSPACE に属する。
• この結果は、入力が圧縮形式であるモノイドフロベニウス問題が、制限された入力形式ですら NP 困難であることを示唆している。
• もし $S^*$ がコファイニートであり、$S \to Σ^n \cup \u03A3^{n+1}$ かつ $\gcd(n,n+1)=1$ ならば $\Sigma^n \subseteq S$ が成り立つが、$E' \neq E''$ のときにはこの性質が崩れ、これは充足可能な 3SAT に対応する。
• スターフリーな正規表現に制限しても、または言語が正確に二つの長さの文字列からなる場合でも、問題は依然として NP 困難のままである。