[論文レビュー] An O(n2) time algorithm for alternating Büchi games

Krishnendu Chatterjee, Monika Henzinger|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Formal Methods in Verification参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、交互な Büchi ゲームを解くための O(n²) 時間アルゴリズムを提示し、長年の eO(n·m) 複雑性の壁を破った。この手法は、新しい階層的グラフ分解と動的進行度測定の維持を用い、辺の挿入・削除に対して O(n) 均衡時間で動作する、初めての動的アルゴリズムを実現した。また、MDP や終状態成分分解といった関連問題の複雑性の上限を改善した。

ABSTRACT

Computing the winning set for Büchi objectives in alternating games on graphs is a central problem in computer aided verification with a large number of applications. The long standing best known upper bound for solving the problem is ̃O(n·m), where n is the number of vertices and m is the number of edges in the graph. We are the first to break the ̃O(n·m) boundary by presenting a new technique that reduces the running time to O(n2). This bound also leads to O(n2) time algorithms for computing the set of almost-sure winning vertices for Büchi objectives (1) in alternating games with probabilistic transitions (improving an earlier bound of O(n·m)), (2) in concurrent graph games with constant actions (improving an earlier bound of O(n3)), and (3) in Markov decision processes (improving for m > n4/3 an earlier bound of O(min(m1.5, m·n2/3)). We also show that the same technique can be used to compute the maximal end-component decomposition of a graph in time O(n2), which is an improvement over earlier bounds for m > n4/3. Finally, we show how to maintain the winning set for Büchi objectives in alternating games under a sequence of edge insertions or a sequence of edge deletions in O(n) amortized time per operation. This is the first dynamic algorithm for this problem.

研究の動機と目的

• 形式的検証における中心的問題である交互な Büchi ゲームを解く際の eO(n·m) 時間複雑性の壁を打ち破ること。
• 交互な Büchi ゲームにおいて辺の挿入または削除に対して勝利集合を維持する、最初の動的アルゴリズムを開発すること。
• マークフ・意思決定過程、定数行動を伴う同時ゲーム、および確率的ゲームにおける Büchi 目的関数といった関連問題の時間境界を改善すること。
• 最大終状態成分分解問題を O(n²) 時間で解くアルゴリズムを提供すること。m > n⁴/³ の場合、従来の O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) の境界を改善する。
• 交互なゲームにおける Büchi 目的関数の文脈に、動的グラフアルゴリズム技術を統合・拡張すること。

提案手法

• 交互な Büchi ゲームにおける非勝利頂点を効率的に同定・削除するために、階層的グラフ分解技術を導入する。
• 辺の更新に対して coLift 演算子の最小不動点を維持する動的進行度測定データ構造を採用する。
• 辺の挿入後に進行度測定の変更を伝搬するために、キューに基づくインクリメンタルアルゴリズムを用い、均衡時間で O(n) を達成する。
• V₂（プレイヤー2）に属する頂点のための特別なリストを維持し、進行度測定が等しいか1つ大きい隣接頂点を追跡することで、効率的な更新を実現する。
• Even-Shiloach 式の動的到達可能性技術を進行度測定フレームワークに適用し、交互なゲームに一般化する。
• 初期進行度測定をゼロから始める不動点反復により計算し、最小不動点に至る類似のインクリメンタル手順を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しいアルゴリズム的技術を用いて、交互な Büchi ゲームの O(n·m) 時間複雑性を打ち破ることは可能か？
• RQ2 交互な Büchi ゲームにおいて、辺の挿入または削除に対して、更新ごとにサブ線形な均衡時間で勝利集合を維持する動的アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 提案手法を、MDP、同時ゲーム、および終状態成分分解といった関連問題に一般化し、時間境界を改善できるか？
• RQ4 階層的分解技術は、古典的な繰り返し到達可能性計算と比較して、効率性およびスケーラビリティの点で優れているか？
• RQ5 動的進行度測定の使用が、ゲームグラフにおける Büchi 目的関数を解く複雑性に、理論的および実用的影響を及ぼすか？

主な発見

• 本稿では、すべての n および m に対して、交互な Büchi ゲームを解く最初の O(n²) 時間アルゴリズムを提示した。これにより、eO(n·m) の複雑性の壁が打ち破られた。
• 辺の挿入または削除ごとに O(n) 均衡時間で動作するため、本問題に対して初めての動的アルゴリズムを実現した。
• 最大終状態成分分解問題は O(n²) 時間で解け、m > n⁴/³ の場合、従来の O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) の境界を改善した。
• Büchi 目的関数を伴うマークフ意思決定過程における確実に勝利する頂点の集合は、O(n²) 時間で計算され、m > n⁴/³ の場合、従来の O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) の境界を改善した。
• 定数行動を伴う同時ゲームと Büchi 目的関数を伴う場合、確実に勝利する頂点の集合は O(n²) 時間で計算され、従来の O(n³) の最悪ケース境界を改善した。
• Büchi 目的関数を伴う単純確率的ゲームのためのアルゴリズムは O(n²) 時間で実行され、このようなゲームを交互な Büchi ゲームに線形に還元することで、従来の eO(n·m) の境界を改善した。