[論文レビュー] An observation: cut-off of the weight $w$ does not increase the $A_{p_{1}, p_{2}}$-"norm'' of $w$

Alexander Reznikov, Vasiliy Vasyunin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非負の重み $ w $ をレベル $ a $ で切り詰める操作—上からでも下からでも—が、すべての立方体 $ J $ における $ \langle w^{p_1} \rangle_J^{1/p_1} \langle w^{p_2} \rangle_J^{-1/p_2} $ の上界として定義される一般化された $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' を増加させないことを証明している。主な結果は、$ [w_a]_{p_1,p_2} \leq [w]_{p_1,p_2} $ であり、これにより、このような推定値に以前まで知られていた定数係数が不要になる。特に $ A_2 $ の場合、ホルダーの不等式と単調性の議論を用いた極めて簡単な証明が得られる。

ABSTRACT

We consider weights $w$ and their cut-offs: $w_a(t)=w(t)$ if $w(t)\le a$ and $w_a(t)=a$ if $w(t)> a$. We consider a generalized $A_p$-``norm'' and prove that the ``norm'' of $w_a$ is not greater then the ``norm'' of $w$. Our proof in the case $w\in A_2$ is especially simple.

研究の動機と目的

• 重み $ w $ をレベル $ a $ で切り詰める操作が、一般化された $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' を増加させないことを確立すること。
• 既知の不等式 $ [w_a]_{p_1,p_2} \leq c[w]_{p_1,p_2} $ における定数係数（例えば 2）を $ c = 1 $ に改善すること。
• $ A_2 $ の場合（$ p_1 = 1 $, $ p_2 = -1 $）において、ホルダーの不等式と基本的な平均化のみを用いて、ノルムの非増加性を簡単な証明で示すこと。
• 重み $ w $ が $ A_{p_1,p_2} $ に属するが非有界または 0 に近い場合でも、有界かつ 0 から離れた近似 $ \varphi_n $ によってノルムが保存されることを示すこと。

提案手法

• 一般化された $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' を、$ [w]_{p_1,p_2} = \sup_J \langle w^{p_1} \rangle_J^{1/p_1} \langle w^{p_2} \rangle_J^{-1/p_2} $ として定義する。ここで $ J $ は $ I $ 内のすべての立方体を走る。
• 切り詰めた重み $ w_a(t) = \min(w(t), a) $ を導入し、この操作が $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' に与える影響を分析する。
• 立方体 $ J $ を二つの部分に分割する：$ J_1 = \{ t \in J : w(t) \leq a \} $, $ J_2 = \{ t \in J : w(t) > a \} $ とし、$ J $ 上の平均を $ J_1 $ と $ J_2 $ 上の重み付き平均として表現する。
• ホルダーの不等式を用いて、各部分立方体において $ x_i^{1/p_1} \geq y_i^{1/p_2} $ が成り立つことを示す。ここで $ x_i = \langle w^{p_1} \rangle_{J_i} $, $ y_i = \langle w^{p_2} \rangle_{J_i} $ である。
• 比 $ s = x_2^{1/p_1} / y_2^{1/p_2} $ に依存する関数 $ \varphi(s,u) $ を定義し、$ s $ に関して増加することを示す。これにより、最小値は $ s = 1 $ で達成される。
• 導関数 $ \partial \varphi / \partial u $ を $ s = 1 $ で評価し、非負であることを証明する。そのために $ u > a $ と $ p_1 > p_2 $ を用いて $ u^{p_1} y_1 - u^{p_2} x_1 \geq 0 $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $ w $ をレベル $ a $ で切り詰めると、その $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' は増加するか？
• RQ2 既知の不等式 $ [w_a]_{p_1,p_2} \leq c[w]_{p_1,p_2} $ における定数係数を $ c = 1 $ に改善できるか？
• RQ3 $ A_2 $ の場合におけるノルムの非増加性の簡単な証明は存在するか？
• RQ4 非有界または 0 に近い重みが $ A_{p_1,p_2} $ に属する場合、有界かつ 0 から離れた重み（例：$ \varphi_n $）でノルムを保存する近似が可能か？
• RQ5 二重切り詰め $ n $ と $ 1/n $ で定義される列 $ \varphi_n $ における $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' の挙動はいかなるものか？

主な発見

• $ w_a $ の $ A_{p_1,p_2} $-``ノルム'' は $ [w_a]_{p_1,p_2} \leq [w]_{p_1,p_2} $ を満たし、等号が成立する場合もある。
• $ A_2 $ の場合、任意の立方体 $ J $ に対して $ \langle w_a \rangle_J \langle w_a^{-1} \rangle_J \leq \langle w \rangle_J \langle w^{-1} \rangle_J $ が成り立つ。これは直接展開と項の非負性による証明で示される。
• 差分の寄与を表す関数 $ \varphi(s,u) $ は $ s $ に関して増加するため、最小値は $ s = 1 $ で達成され、これは元の非切り詰めの状態に対応する。
• 導関数 $ \partial \varphi / \partial u $ が $ s = 1 $ で非負であることは、$ u \geq w(t) $ と $ p_1 > p_2 $ を用いて $ u^{p_1} y_1 - u^{p_2} x_1 \geq 0 $ が成り立つことから従う。
• 二重切り詰め $ n $ と $ 1/n $ で定義される列 $ \varphi_n $ は $ [\varphi_n]_{p_1,p_2} \leq [w]_{p_1,p_2} $ を満たし、$ \lim_{n \to \infty} [\varphi_n]_{p_1,p_2} = [w]_{p_1,p_2} $ を満たす。
• この結果により、任意の $ w \in A_{p_1,p_2} $ は、上界と下界が有界な重みでノルムを保存しながら近似可能であることが示され、ベルマン関数法や $ \{ p : w \in A_p \} $ の開集合性の証明において有用である。