[論文レビュー] An obstruction to asymptotic semistability and approximate critical metrics

Toshiki Mabuchi|ArXiv.org|Apr 10, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正の次元をもつ代数的群がホロモルフィックに作用する場合、極小化多様体 $(M,L)$ が漸近的 Chow-半安定であるためには、自己同型群の最大トーラスにおけるリー代数上でのある曲率関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ の消滅というコhomologicalな障害が満たされなければならないことを特定する。ドナルドソンによる近似臨界計量の構成を一般化し、この障害条件のもとで漸近的 Chow-安定性が成り立ち、$c_1(L)_{\mathbb{R}}$ に属する定スカラー曲率ケーラー計量が群作用の意味で一意的であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider an obstruction to asymptotic Chow-semistability of a polarized Kaehler algebraic manifold. Even when a linear algebraic group of positive dimension acts nontrivially and holomorphically on a polarized Kaehler algebraic manifold with constant scalar curvature, the vanishing of the obstruction allows us to generalize Donaldson's construction of approximate solutions for equations of balanced metrics.

研究の動機と目的

• 正の次元をもつホロモルフィック群作用を伴う極小化多様体 $(M,L)$ における漸近的 Chow-半安定性の障害を同定すること。
• 自己同型群 $\operatorname{Aut}^0(M)$ が正の次元をもつ場合に、ドナルドソンの臨界計量方程式の近似解の構成を一般化すること。
• 高次のテンソル冪 $L^m$ における固定作用が安定する場合に、漸近的 Chow-安定性が成り立つ条件を確立すること。
• 極小化類 $c_1(L)_{\mathbb{R}}$ に属する定スカラー曲率ケーラー計量が群作用の意味で一意的であることを証明すること。
• 自己同型群が自明である場合、漸近的 Chow-安定性が Hilbert 標準形の意味での安定性を意味することを示すこと。

提案手法

• 自己同型群の最大トーラス $Z$ のリー代数 $\mathfrak{z}$ 上に、曲率形式の重み付きトレースの積分によって定義される曲率関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ を導入する。
• 等変コhomologyおよび $L^m$ 上の $Z_m$-不変なヘルミート計量を用いて、関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ を定義し、計量 $h$ の選択に依存しないことを示す。
• 関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ が特定の列 $m(k)\to\infty$ に対して消えるならば、固定作用 $\rho_m$ が十分大きな $m$ で安定する、すなわち $\rho_{m(k)} = \rho_{m(k_0)}$ ($k \geq k_0$) が成り立つことを確立し、障害と群作用の持ち上げの安定性を結びつける。
• ケーラー計量 $\omega(\ell)$ および $L$ 上の計量 $h(\ell)$ に対して $q$ に関する形式的べき級数展開を適用し、Bergman 計量の漸近展開を用いる。
• 条件 $\rho_{m(k)} = \rho_{m(k_0)}$ ($k \geq k_0$) を用いて、関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ が十分大きな $m$ で消えることを示し、近似解の構成を可能にする。
• $q$-進展開における再帰的議論を用いて、計量の展開における誤差項 $v_\ell$ が消えることを証明し、近似解列の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の次元をもつホロモルフィック群作用を伴う極小化多様体 $(M,L)$ が漸近的 Chow-半安定であるためには、どのような障害が消えなければならないか？
• RQ2 自己同型群 $\operatorname{Aut}^0(M)$ が正の次元をもつ場合に、ドナルドソンによる近似臨界計量の構成を拡張できるか？
• RQ3 固定作用 $\rho_m$ の安定化が、どのような条件下で漸近的 Chow-安定性を意味するか？
• RQ4 曲率関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ の消滅が、定スカラー曲率ケーラー計量の存在とどのように関係するか？
• RQ5 $Z_m$-作用がホロモルフィックベクトル場の持ち上げおよび障害の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• $(M,L)$ が漸近的 Chow-半安定であるならば、十分大きな $m(k)$ に対して関数 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ がすべて消えることが保証され、これが必要な障害を提供する。
• 障害が消えるならば、$\rho_{m(k)} = \rho_{m(k_0)}$ ($k \geq k_0$) が成り立つため、$\rho_m$ は十分大きな $m$ で安定する。
• 固定作用の安定化条件のもとで、近似臨界計量の構成はドナルドソンの方法を非自明な群作用の場合に一般化する。
• 十分大きな $m$ で $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ が消えることは、計量の $q$-進展開における誤差項 $v_\ell$ が消えることを意味し、収束を保証する。
• 固定作用が安定し、かつ $c_1(L)_{\mathbb{R}}$ に定スカラー曲率ケーラー計量が存在するならば、$(M,L)$ は漸近的 Chow-安定である。
• 固定作用の安定化条件および障害の消滅から、$c_1(L)_{\mathbb{R}}$ に属する定スカラー曲率ケーラー計量が群 $G$ の作用の意味で一意的であることが従う。