[論文レビュー] An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Frédéric Marbach|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する制御 u(t) を伴う区間 [0,1] 上の粘性バーガー方程式に対して、小時間局所的ゼロ可制御性の2次障害を確立する。非線形系の2次展開を用いて、制御の弱い H⁻⁵/⁴ 範囲が関与する構造的障害を同定し、無限大の情報伝播速度があるにもかかわらず、任意に小さな時間内に系をゼロに制御できるような小さな制御は存在しないことを証明する。

ABSTRACT

In this work, we are interested in the small time local null controllability for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on the line segment $[0,1]$, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the classical Lie bracket necessary condition $[f_1,[f_1,f_0]]$ introduced by Sussmann fails to conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a second order obstruction to small time local null controllability. This obstruction holds although the information propagation speed is infinite for the Burgers equation. Our obstruction involves the weak $H^{-5/4}$ norm of the control $u$. The proof requires the careful derivation of an integral kernel operator and the estimation of residues by means of weakly singular integral operator estimates.

研究の動機と目的

• 時間に依存する制御 u(t) を伴う粘性バーガー方程式に対して、小時間局所的ゼロ可制御性が成立するかを調査すること。
• バーガー方程式の無限大の伝播速度が、非線形性があるにもかかわらず小時間可制御性を可能にするかを特定すること。
• 古典的リー括弧条件では捉えきれない、2次障害を同定・特徴づけること。
• 制御の弱い H⁻⁵/⁴ ノルムが障害機構において重要な要因であることを確立すること。

提案手法

• ゼロ平衡点まわりの非線形系の2次展開を適用し、2次項を明らかにする。
• 精密な漸近解析を用いて、2次近似から積分カーネル作用素を導出する。
• 弱特異積分作用素の推定を用いて、剰余項と特異積分を推定する。
• トライベル＝リゾルキン空間における分子および原子分解を用いて、作用素ノルムを制御する。
• [0,1]×[0,1] 上で定義された局所的カーネルを R×R に拡張し、弱特異性およびホルダー連続性の性質を保存する。
• タイプ (s,δ) の弱特異積分作用素の理論を適用し、H⁻⁵/⁴ における制御影響を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間のみに依存する制御 u(t) を伴う粘性バーガー方程式は、小時間局所的ゼロ可制御性を有するか？
• RQ2 古典的リー括弧条件 [f₁,[f₁,f₀]] は、この設定において可制御性を結論づけるのに使用可能か？
• RQ3 制御の弱い H⁻⁵/⁴ ノルムが、小時間可制御性の障害に果たす役割は何か？
• RQ4 無限大の伝播速度があるにもかかわらず、ゼロ可制御性を妨げる2次障害が存在するか？
• RQ5 トライベル＝リゾルキン空間のような関数空間において、積分カーネル推定を用いて制御の影響を定量的に評価できるか？

主な発見

• H¹₀ において初期データを任意に小さくした場合でも、任意の L² 制御（L² ノルムが小さい）では、系をゼロに制御できないため、システムは小時間局所的ゼロ可制御でないことが証明された。
• 古典的リー括弧条件 [f₁,[f₁,f₀]] では検出されない2次障害が存在する。
• 障害は、可制御性が可能となるためにはゼロから離れる必要がある制御の弱い H⁻⁵/⁴ ノルムによって特徴づけられる。
• 証明は、トライベル＝リゾルキン空間における分子分解を用いて作用素の作用を推定する、積分カーネル作用素の構成に依存している。
• 著者らは、[0,1]×[0,1] 上の局所的カーネルを R×R に拡張し、弱特異性およびホルダー連続性を保存した。これにより、グローバルな作用素ノルム推定が可能になった。
• この結果は、無限大の信号伝播速度があるにもかかわらず、非線形性および2次効果が小時間可制御性を妨げる可能性があることを示している。