[論文レビュー] An old efficient approach to anomalous Brownian motion

V. Lisý, Jana Tóthová|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1942年にヴラジミルスキーが提唱した線形ランジュバン方程式の記憶項を扱う手法を再考し、異常ブラウン運動（BM）の挙動を導出する有効性を示している。確率的方程式をギブス統計を用いて決定論的方程式に変換することで、任意の記憶カーネル（特に指数関数的減衰）を効率的に取り扱い、平均二乗変位および磁場中での流体力学的BMに対する正確な解を得た。

ABSTRACT

A number of random processes in various fields of science is described by phenomenological equations containing a stochastic force, the best known example being the Langevin equation (LE) for the Brownian motion (BM) of particles. Long ago Vladimirsky (1942) proposed a simple method for solving such equations. The method, based on the classical Gibbs statistics, consists in converting the stochastic LE into a deterministic one, and is applicable to linear equations with any kind of memory. When the memory effects are taken into account in the description of the BM, the mean square displacement of the particle at long times can exhibit an "anomalous" (different from that in the Einstein theory) time dependence. In the present paper we show how some general properties of such anomalous BM can be easily derived using the Vladimirsky approach. The method can be effectively used in solving many of the problems currently considered in the literature. We apply it to the description of the BM when the memory kernel in the Volterra-type integro-differential LE exponentially decreases with the time. The problem of the hydrodynamic BM of a charged particle in an external magnetic field is also solved.

研究の動機と目的

• ヴラジミルスキーの1942年手法が、異常ブラウン運動の現代的問題への適用可能性を示すこと。
• 古典的統計力学的手法を用いて、任意の記憶カーネルを有する異常BMの一般的性質を導出すること。
• 外部磁場中における荷電粒子の流体力学的BMを、同じ手法を用いて解くこと。
• 非マルコフ的ダイナミクス下での平均二乗変位に対して、この手法が正確な解析的解を提供することを示すこと。
• この手法が、統計力学における複雑な確率的積分微分方程式を解く強力で見過ごされているツールであることを確立すること。

提案手法

• 古典的ギブス統計を用いて、記憶項を含む確率的ランジュバン方程式を決定論的方程式に変換する。
• 一般の記憶カーネルを有する線形ボルテラ型積分微分方程式にこの手法を適用する。
• ランジュバン方程式におけるガウス白色ノイズの仮定を用いることで、解析的取り扱いを可能にする。
• 記憶カーネルが時間とともに指数関数的に減衰する場合にこの手法を適用する。
• ローレンツ力の導入を組み込むことで、磁場中における荷電粒子の流体力学的BM問題を決定論的定式化に基づき解く。
• フーリエ空間で得られる決定論的方程式を解くことにより、平均二乗変位を解析的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴラジミルスキーの1942年手法は、記憶を持つ系における異常拡散挙動を効果的に導出するために適用可能か？
• RQ2 この手法を用いた非マルコフ的ブラウン運動における平均二乗変位の一般的解析的性質は何か？
• RQ3 この手法は、外部磁場中における荷電粒子の流体力学的BMをどのように取り扱うか？
• RQ4 記憶カーネルが指数関数的に減衰する場合、平均二乗変位の正確な形は何か？
• RQ5 この古典的手法は、このような問題に対して、現代の数値的または摂動的技法を上回る性能を示せるか？

主な発見

• この手法により、記憶項を含む確率的ランジュバン方程式が決定論的方程式に正確に変換され、解析的解が得られる。
• 指数関数的記憶カーネルの場合、長時間においては準拡散的挙動を示し、既知の結果と整合的である。
• マルコフ的および非マルコフ的領域の両方において、時間依存の平均二乗変位の正確な式が得られる。
• 磁場中における荷電粒子の流体力学的BMは解析的に解かれており、ローレンツ力の影響により拡散特性が修正されていることが示された。
• この手法は一般性を有し、任意の記憶カーネル形態を有する線形ランジュバン方程式に適用可能である。
• 指数的記憶カーネルの場合の解は、異常拡散が追加の仮定なしに記憶構造そのものから自然に生じることを確認した。