[論文レビュー] An Open Mapping Theorem for rings which have a zero sequence of units

Timo Henkel|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ゼロに収束する単位元の列を有する位相的環上の位相的加群に対して、古典的な関数解析の結果を一般化する、オープン写像定理を確立する。主な貢献は、特に完備ノエター環でハウスドルフかつテート環であるような環に対して、有限生成加群上に一意に定まる完備で、距離化可能で、ハウスドルフな位相が存在することの証明である。これは、弱い条件下でも線形写像の連続性と開性を保証する。

ABSTRACT

This paper provides an Open Mapping Theorem for topological modules over rings that have a zero sequence consisting of units. As an application it is shown that there is a unique complete and metrisable topology on finitely generated modules over certain topological rings (e.g. over complete noetherian Hausdorff Tate rings).

研究の動機と目的

• バナッハ空間におけるオープン写像定理を、ゼロに収束する単位元の列を有する環上の位相的加群へ一般化すること。
• 特定の位相的環上の有限生成加群が、一意に定まる完備かつ距離化可能な位相を有する条件を確立すること。
• このような加群間のR線形写像の連続性の基準を提供すること。
• 結果を、完備ノエター環でハウスドルフかつ非アルキメデス的であるテート環に適用し、有限生成加群上の位相が一意に定まることを示すこと。

提案手法

• ゼロに収束する単位元の列を有する環上の位相的R加群の文脈に、位相的線形空間における古典的オープン写像定理の証明を適応する。
• 可算近傍基を持つ完備位相群の文脈でベールのカテゴリ一様定理を用いる。
• 加群の加法群におけるコーシー列による完備性の概念を用いる。
• 特に、位相的に零冪な単位元の存在と、イデアルのべきによって生成される基本近傍系を有するテート環の構造を応用する。
• 距離化可能加群の完備化が、完成化された環上の加群に一致することを用いる。
• 任意の2つのこのような位相が、開かつ連続かつ全単射な写像（したがって同相写像）によって等価であることを示すことにより、位相の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的環Rが、ゼロに収束する単位元の列を有するとき、R加群間のR線形写像に対して、どのような条件下でオープン写像定理が成立するか。
• RQ2 完備ノエター環でハウスドルフかつ非アルキメデス的であるような環Rに対して、有限生成R加群上に一意に定まる完備かつ距離化可能な位相を定義できるか。
• RQ3 単位元のゼロ列の存在が、加群写像における開性と完備性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 特に、位相的に零冪な単位元の存在を有するテート環の位相的構造が、一意な加群位相の構成をどのように支援するか。
• RQ5 明示的な距離構造やノルム構造を仮定しない場合、有限生成加群上のR線形写像の連続性をどの程度保証できるか。

主な発見

• Rをゼロに収束する単位元の列を有する位相的環とし、M, Nを可算近傍基を持つ完備かつハウスドルフなR加群とする。このとき、R線形連続写像u: M → Nが開写像であるための必要十分条件は、uが全射であり、かつNが完備であることである。
• uの像が極小集合でない、あるいは同値に、uがMの0の近傍をNの0の近傍へ写像するという条件下で、オープン写像定理が成立する。
• 可算近傍基を有する完備ノエター環でハウスドルフかつ非アルキメデス的であり、ゼロに収束する単位元の列を有する環Rに対して、有限生成R加群から他の加群への任意のR線形写像は連続である。
• 完備ノエター環でハウスドルフかつ非アルキメデス的であるテート環Rに対して、任意の有限生成R加群Mには、Mがハウスドルフ的で、完備で、距離化可能であるような一意なR加群位相が存在する。
• このような環上の有限生成R加群の完備化は、元の加群そのものと一致するため、位相は加群構造と環の位相によって一意に定まる。
• 一意性の証明は、2つのこのような位相の間の恒等写像が連続かつ開であるという事実に依拠しており、したがって同相写像であるため、位相が等しいことが強制される。