[論文レビュー] An Optimal Algorithm for Online Multiple Knapsack

Marcin Bieńkowski, Maciej Pacut+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、複数のナップサック問題に対する決定的オンラインアルゴリズムを提示し、$1/(1 + \ln 2) - O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$ の競合比を達成する。これは長年の 0.5-競合比の FirstFit を上回るものである。アルゴリズムは大ぶりのアイテムに対してしきい値ベースの戦略を用い、受容と拒否のバランスを取るために独創的なポテンシャル関数解析を採用しており、下位の項を除いて最適性が証明されている。

ABSTRACT

In the online multiple knapsack problem, an algorithm faces a stream of items, and each item has to be either rejected or stored irrevocably in one of $n$ bins (knapsacks) of equal size. The gain of an~algorithm is equal to the sum of sizes of accepted items and the goal is to maximize the total gain. So far, for this natural problem, the best solution was the $0.5$-competitive algorithm First Fit (the result holds for any $n \geq 2$). We present the first algorithm that beats this ratio, achieving the competitive ratio of $1/(1+\ln(2))-O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$. Our algorithm is deterministic and optimal up to lower-order terms, as the upper bound of $1/(1+\ln(2))$ for randomized solutions was given previously by Cygan et al. [TOCS 2016]. Furthermore, we show that the lower-order term is inevitable for deterministic algorithms, by improving their upper bound to $1/(1+\ln(2))-O(1/n)$.

研究の動機と目的

• 決定的アルゴリズムにおいて長年にわたり達成されてきた 0.5 の競合比のギャップを埋めるためのオンライン複数ナップサック問題の研究。
• 数十年にわたり知られていた 0.5 の競合比を超える決定的オンラインアルゴリズムの設計。
• ランダム化アルゴリズムにおける既知の上限値 $1/(1 + \ln 2) \approx 0.5906$ と一致するように、新しいアルゴリズムの最適性（下位の項を除いて）を証明すること。
• 精巧な敵対的構成を用いて、決定的アルゴリズムにおいて $O(1/n)$ 項が避けがたいことを示すこと。
• アイテムのサイズ、ボックスの利用度、戦略的しきい値を考慮した複雑なポテンシャル関数を用いたタイトな解析を提供すること。

提案手法

• アイテムを大ぶり（サイズ > 1/2）、中ぶり（サイズ ∈ [φ, 1/2]）、小ぶり（サイズ < φ）に分類し、φ を臨界しきい値として定義する。
• 第 i 個の受容済み大ぶりアイテムに対して非減少のしきい値関数 $f(i/n)$ を設定する Rising Threshold Algorithm (RTA) を導入し、過剰受容と不十分受容のバランスを取る。
• パックされたアイテムの利益、ボックスの利用度、および部分的にしか満たないボックスに対するペナルティ項 $\xi(x)$ を組み合わせたポテンシャル関数 $\Phi$ を採用して意思決定を導く。
• 係数は最適値 $R = 1/(1 + \ln 2)$ から導出される線形関数 $\xi(x)$ を [φ, 1/3] および [1/3, 1/2] で区分的定義する。
• 複数の補題を用いた独創的なポテンシャル関数解析により、すべての入力タイプにおいてアルゴリズムが $R - O(1/n)$ の競合比を維持することを証明する。
• ポテンシャル関数の方向微分を用いて、特定の経路に沿って関数値が単調に減少することを示し、アルゴリズムが目標の競合比を下回らないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的オンラインアルゴリズムが、複数ナップサック問題において 0.5 を厳密に上回る競合比を達成できるか？
• RQ2 ランダム化アルゴリズムにおける上限値 $1/(1 + \ln 2) \approx 0.5906$ が、決定的アルゴリズムに対してもタイトであるか？
• RQ3 競合比を $1/(1 + \ln 2)$ に近づけるために必要なポテンシャル関数の構造的性質は何か？
• RQ4 決定的アルゴリズムにおいて競合比の $O(1/n)$ 項が避けがたいかを証明できるか？
• RQ5 大ぶりアイテムに対するしきい値戦略と洗練されたポテンシャル関数を組み合わせることで、FirstFit を上回る性能を達成できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$1/(1 + \ln 2) - O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$ の競合比を達成し、0.5 の境界を超える最初の決定的オンラインアルゴリズムである。
• アルゴリズムは下位の項を除いて最適であり、ランダム化アルゴリズムの既知の上限値 $1/(1 + \ln 2)$ と一致する。
• 精巧な敵対的構成を用いて、決定的アルゴリズムにおいて $O(1/n)$ 項が避けがたいかが証明された。
• ポテンシャル関数解析（$\xi(x)$、$P(y)$、$Q(y)$ を含む）は、すべての入力構成において競合比を証明するために不可欠である。
• ポテンシャル関数の方向微分の議論により、関数値が特定の経路に沿って減少することが示され、アルゴリズムが競合比を維持していることが保証された。
• アルゴリズムの性能はすべてのアイテムサイズカテゴリにわたり頑健であり、区分線形関数と不等式を用いて中ぶりおよび大ぶりアイテムについてタイトな境界が証明された。