[論文レビュー] An optimal bound on the solution sets of one-variable word equations and its consequences

Dirk Nowotka, Aleksi Saarela|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

semigroups and automata theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1変数語方程式における解の数の最適な上界として3を確立し、このような方程式が無限個の解を持つか、さもなければ最大3個の解しか持たないことを証明する。その結果、非周期的解をもつ定数を含まない3変数語方程式の独立系のサイズに対する最初の有限上界17が得られ、語の組合せ論における長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We solve two long-standing open problems on word equations. Firstly, we prove that a one-variable word equation with constants has either at most three or an infinite number of solutions. The existence of such a bound had been conjectured, and the bound three is optimal. Secondly, we consider independent systems of three-variable word equations without constants. If such a system has a nonperiodic solution, then this system of equations is at most of size 17. Although probably not optimal, this is the first finite bound found. However, the conjecture of that bound being actually two still remains open.

研究の動機と目的

• 1変数語方程式の解集合の最大有限サイズに関する長年の未解決問題を解消すること。
• 定数を含まない3変数語方程式の独立系のサイズに対する最初の有限上界を確立すること。
• このような系が独立でかつ非周期的解をもつならば、17本を超えることはできないことを証明すること。
• 1変数方程式の解集合と多変数方程式系の構造との間の関係を強化すること。
• 特に3変数の場合において、語方程式系における独立性の限界を理解するための基盤を提供すること。

提案手法

• 語方程式の研究において先行して得られた高度な技術を活用し、特に[18]で開発された解構造の分析手法を応用する。
• 長さを保存する自己写像 $ f = g \circ \mathrm{psw} $ を用いて方程式を変換し、解集合の構造的性質を保ちながら解析する。
• 語方程式におけるゼロ和列と接頭辞・接尾辞の関係を用いて、解の長さと周期性を制約する。
• 補題6.1を用いて、固定長のアルファベットへの写像 $ h $ を用いて方程式を簡約し、解の重複度を解析可能にする。
• 補題6.9を適用して、特定の変換された方程式が空解をもつことを示し、最小性仮定のもとで矛盾を導く。
• 定理2.6（無限解集合）と補題2.7（解集合サイズの上限）の結果を統合し、有限性およびサイズ制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数を含む1変数語方程式がもつ最大の有限個の解の数は何か？
• RQ2 非周期的解をもつ定数を含まない3変数語方程式の独立系が、17本を超えることは可能か？
• RQ3 定数を含まない3変数語方程式の独立系のサイズに対して、有限上界が存在するか？
• RQ4 1変数方程式の解集合サイズは、多変数方程式系の独立性およびサイズとどのように関係するか？
• RQ5 3変数系における17という上界を改善できるか、あるいはこれがタイトな上界であるか？

主な発見

• 定数を含む1変数語方程式は、無限個の解を持つか、さもなければ最大3個の解しか持たない。この3という上界は最適である。
• 1変数方程式の解集合サイズに有限上界が存在することは、定数を含まない3変数方程式の独立系に対しても有限上界が存在することを示唆する。
• 非周期的解をもつ定数を含まない3変数方程式の独立系は、最大17本の式からなる。
• 非周期的解をもつ必要がない場合、最大サイズは18まで可能であるが、非周期的解が存在する場合には17という上界が成立する。
• 写像に基づく変換と解の長さ・周期性を制約する構造的補題を用いた背理法に依拠して証明がなされている。
• 本結果により、3変数方程式の独立系のサイズに対する最初の有限上界が確立されたが、予想される上界2については未解決のままである。