[論文レビュー] An Optimal Control Theory for the Traveling Salesman Problem and Its Variants

I. Michael Ross, Ronald J. Proulx+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Transportation and Mobility Innovations参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、頂点とアークを連続時系列の軌道上の汎関数としてモデル化することにより、巡回セールスマン問題（TSP）およびその変種に対する新しい最適制御フレームワークを提案する。これにより、運動制限、禁制区域、時間窓といった動的制約を自然に組み込むことが可能になる。巡回路の連続性を強制することで、離散的サブツアー除去制約の必要性が排除され、数値的結果により、非凸的かつ動的制約を伴う複雑な現実世界のルーティング問題に対する計算上の実行可能性が示された。

ABSTRACT

We show that the traveling salesman problem (TSP) and its many variants may be modeled as functional optimization problems over a graph. In this formulation, all vertices and arcs of the graph are functionals; i.e., a mapping from a space of measurable functions to the field of real numbers. Many variants of the TSP, such as those with neighborhoods, with forbidden neighborhoods, with time-windows and with profits, can all be framed under this construct. In sharp contrast to their discrete-optimization counterparts, the modeling constructs presented in this paper represent a fundamentally new domain of analysis and computation for TSPs and their variants. Beyond its apparent mathematical unification of a class of problems in graph theory, the main advantage of the new approach is that it facilitates the modeling of certain application-specific problems in their home space of measurable functions. Consequently, certain elements of economic system theory such as dynamical models and continuous-time cost/profit functionals can be directly incorporated in the new optimization problem formulation. Furthermore, subtour elimination constraints, prevalent in discrete optimization formulations, are naturally enforced through continuity requirements. The price for the new modeling framework is nonsmooth functionals. Although a number of theoretical issues remain open in the proposed mathematical framework, we demonstrate the computational viability of the new modeling constructs over a sample set of problems to illustrate the rapid production of end-to-end TSP solutions to extensively-constrained practical problems.

研究の動機と目的

• TSPおよびその変種のための連続時系列・汎関数最適化フレームワークを構築し、離散最適化定式化の枠を超えること。
• 点でない都市（例：近隣地域、禁制区域、時間窓など）間の距離を定義する際の根本的課題に対処すること。
• 近隣地域、禁制区域、時間窓、利益を伴うTSP変種など、多様なTSP変種を、一つの連続時系列最適制御定式化で統合すること。
• 車両の運動学的特性や連続的時間のコスト／利益汎関数といった、アプリケーション固有のダイナミクスを、自然な数学的空間で直接モデル化できること。
• 数値的ケーススタディを通じて、この新しいフレームワークを用いて、高制約性のTSP問題を解く計算上の実行可能性を示すこと。

提案手法

• 頂点とアークが可測関数から実数への写像である汎関数として定義されるグラフ上の関数的最適化問題としてTSPをモデル化する。
• 都市を集合（例：近隣地域）として表現し、最小距離汎関数を用いて都市間距離を定義する。例：$ d(A,B) = \min_{x\in A, y\in B} \|x - y\|_2 $ により、進入／離開点の依存関係を捉える。
• 位置と速度を状態変数とし、加速度を制御入力とする二重積分器モデルを用いて、TSPを最適制御問題として定式化する。
• 軌道の滑らかさによって巡回路の連続性を強制し、組合せ的制約を明示的に設けることなく、サブツアー違反を自然に排除する。
• $ \ell_2 $ や $ \ell_\infty $ の速度および加速度の制限を制御限界として組み込み、現実的な車両のダイナミクスをモデル化する。
• 得られた非滑らか最適制御問題を数値的手法で解き、都市および禁制区域を通る連続的で曲線的な巡回路として解を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非点的都市（例：近隣地域）間の距離を、進入・離開点を尊重し、巡回路に断片的なセグメントが生じない形で定義する方法は何か？
• RQ2 速度および加速度制限といった動的制約を、現実世界の車両ダイナミクスを反映する形でTSP定式化に自然に統合する方法は何か？
• RQ3 禁制区域および非凸の許容領域が、TSP変種における最適巡回順序および経路幾何学にどのように影響を与えるか？
• RQ4 連続時系列最適制御理論を用いることで、TSP定式化における離散的サブツアー除去制約の必要性を排除できるか？
• RQ5 運動制約の変更（例：$ \ell_2 $ と $ \ell_\infty $ の比較）が、最適巡回順序および経路の曲率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、禁制近隣地域や運動制限を尊重する連続的で曲線的な巡回路を効果的に生成し、断片的なセグメントを再結合するための後処理の必要性を回避した。
• 制御ノルムとして $ \ell_2 $ を用いたバージョン（fastCEMTSPFN-2）は、$ \ell_\infty $ を用いたバージョンよりも滑らかで現実的であるとみられる曲がり方を示し、制御ノルムの選択が経路幾何学に与える影響を示した。
• $ \ell_\infty $ と $ \ell_2 $ の定式化の間で都市訪問順序が顕著に変化しており、運動制限がルーティング意思決定に非自明に影響を与えることが示された。
• 複数の非凸な禁制区域を追加すると、最適巡回順序が著しく変化し、フレームワークが複雑な空間的制約に敏感であることが示された。
• 重なり合う禁制区域と非凸領域を含む12の近隣地域を伴うTSP変種に対しても、計算上実行可能な方法で、妥当でエンドツーエンドの解を生成した。
• 運動制約のわずかな変更（例：$ \ell_2 $ と $ \ell\_\infty $ の比較）が、顕著に異なるかつより効率的なルーティング解をもたらすことが示された。これは、システムレベル最適化において戦略的利点を有することを示唆している。