[論文レビュー] An Optimal Product-State Approximation for 2-Local Quantum Hamiltonians with Positive Terms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、積状態を用いた量子最大カット（QMC）問題に対する古典的1/2近似アルゴリズムを提示し、それが無条件に最適であることを証明する。第二段階の量子ラッセルレ階層から導出された新しい非線形もつれのモノガミー不等式を用いて、エンタングル状態を用いてもより良い近似が可能でないことを示し、一般の正の2局所ハミルトニアンに対しても結果を拡張する。

ABSTRACT

We resolve the approximability of the maximum energy of the Quantum Max Cut (QMC) problem using product states. A classical 0.498-approximation, using a basic semidefinite programming relaxation, is known for QMC, paralleling the celebrated 0.878-approximation for classical Max Cut. For Max Cut, improving the 0.878-approximation is Unique-Games-hard (UG-hard), and one might expect that improving the 0.498-approximation is UG-hard for QMC. In contrast, we give a classical 1/2-approximation for QMC that is unconditionally optimal, since simple examples exhibit a gap of 1/2 between the energies of an optimal product state and general quantum state. Our result relies on a new nonlinear monogamy of entanglement inequality on a triangle that is derived from the second level of the quantum Lasserre hierarchy. This inequality also applies to the quantum Heisenberg model, and our results generalize to instances of Max 2-Local Hamiltonian where each term is positive and has no 1-local parts. Finally, we give further evidence that product states are essential for approximations of 2-Local Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 正の項を有する2局所量子ハミルトニアンの最大エネルギーの近似可能性を、積状態を用いて解明すること。
• 半分近似（1/2-approximation）が、半定値計画法による0.498近似が存在するにもかかわらず、無条件に最適であることを確立すること。
• 第二段階の量子ラッセルレ階層を用いて、三角形における新しい非線形もつれのモノガミー不等式を導出すること。
• 各項が正で1局所成分を含まないすべてのMax 2-Local ハミルトニアンのインスタンスにその結果を一般化すること。
• 積状態が2局所ハミルトニアンを近似するために本質的であるという証拠を提供すること、すなわちエンタングルメントが存在しても、積状態を用いた近似が改善できないこと。

提案手法

• 第二段階の量子ラッセルレ階層を解析することで、三角形における非線形もつれのモノガミー不等式を導出する。
• 半定値計画法の双対性を用いて、ある辺の値が-√3/2未満であれば、隣接する辺の値は正でなければならないことを証明する。
• SDPの明示的双対解を構築することで、辺の値に-√3/2の下界を証明し、重要な不等式を確立する。
• 導出された不等式を適用して、ある辺の値が(v_ij > (1+√3)/3 ≈ 0.911)高い場合、隣接する辺の値が(v_ik < 1/3)低くなることを示す。
• 不等式を用いて、QMCに対して積状態が1/2-近似を超えることは不可能であり、この境界がタイトであることを証明する。
• 同様のモノガミー不等式が正の2局所ハミルトニアンのインスタンスに適用可能であることを示すことで、結果をすべてのインスタンスに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積状態を用いた量子最大カットの1/2-近似は、無条件に最適であるか？
• RQ2 第二段階の量子ラッセルレ階層から非線形もつれのモノガミー不等式を導出できるか？
• RQ3 1/2-近似の境界は、QMCに限らず、すべての正の2局所ハミルトニアンに成り立つか？
• RQ4 エネルギー近似の観点から、積状態と一般の量子状態の間のギャップを定量化できるか？
• RQ5 0.498-近似を超える近似を積状態を用いて達成できるか、もし不可能であればその理由は何か？

主な発見

• 積状態を用いた量子最大カットの古典的1/2-近似アルゴリズムは、任意の量子状態が達成可能な最大エネルギーの半分にちょうどなる最適な積状態エネルギーを持つインスタンスが存在するため、無条件に最適である。
• 本稿では、第二段階の量子ラッセルレ階層から導出された新しい非線形もつれのモノガミー不等式を導出し、これが最適性の証明の中心的役割を果たす。
• この不等式は、三角形の1辺の値が-√3/2未満であれば、隣接する辺の値が正でなければならないことを示し、1/2-近似境界の証明に用いられる。
• 1/2-近似境界はタイトである：最適エンタングル状態のエネルギーの半分にちょうどなる最適積状態エネルギーを持つ明示的な例が存在する。
• この結果は、1局所成分を含まない正の2局所ハミルトニアンのすべてのインスタンスに一般化され、この広いクラスにおいても1/2-近似が最適であることが示された。
• 本研究は、積状態が2局所ハミルトニアンを近似するために本質的であるという強い証拠を提供する。なぜなら、高度なSDP階層を用いても、積状態による改善は不可能であるからである。