[論文レビュー] An optimal result for global existence and boundedness in a three-dimensional Keller-Segel(-Navier)-Stokes system (involving a tensor-valued sensitivity with saturation)

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

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ひとこと要約

本稿は、飽和を伴うテンソル値感受性を有する3次元 Keller-Segel(-Navier)-Stokes系について、最初の最適な大域的存在および有界性結果を確立し、感受性の減衰パラメータが $\alpha > \frac{1}{3}$ を満たす場合、解が大域的に定義されかつ一様に有界であることを証明している。解析では、最大Sobolev正則性と修正されたエネルギー汎関数を組み合わせることで、3次元における指数の臨界性を克服している。

ABSTRACT

The coupled quasilinear Keller-Segel-Navier-Stokes system $$ \left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn- abla\cdot(nS(x,n,c) abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-c+n,\quad x\in Ω, t>0, u_t+κ(u \cdot abla)u+ abla P=Δu+n abla ϕ,\quad x\in Ω, t>0, abla\cdot u=0,\quad x\in Ω, t>0 \end{array} ight.\eqno(KSNF) $$ is considered under Neumann boundary conditions for $n$ and $c$ and no-slip boundary conditions for $u$ in three-dimensional bounded domains $Ω\subseteq \mathbb{R}^3$ with smooth boundary, where $κ\in \mathbb{R}$ is given constant, $ϕ\in W^{1,\infty}(Ω),m>0$, $|S(x,n,c)|\leq C_S(1+n)^{-α}$ and the parameter $α\geq0$. %For any small $μ>0$, If $α>\frac{1}{3}$, then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(KSNF)$ possesses a globally defined weak solution. This result improves the result of Wang (Math. Models Methods Appl. Sci., 27(14):2745--2780, 2017), where the global {\bf very weak} solution for system $(KSNF)$ is obtained. Moreover, if $κ=0$ and $S(x,n,c)=C_S(1+n)^{-α}$, then the system $(KSF)$ exists at least one global classical solution which is bounded in $Ω imes(0,\infty)$. These results significantly improve or extend previous results of several authors. In comparison to the result for the corresponding fluid-free system, the {\bf optimal condition} on the parameter $α$ for global (weak) existence and boundedness is obtained. Our proofs rely on Maximal Sobolev regularity techniques and on a variant of the natural gradient-like energy functional.

研究の動機と目的

• 3次元 Keller-Segel(-Navier)-Stokes系にテンソル値感受性を有する場合の感受性の減衰パラメータ $\alpha$ に対する最適な条件を、大域的存在および有界性の観点から確立すること。
• 従来の弱解に関する結果を拡張し、より自然なパrameter範囲において大域的古典的有界解を含むようにすること。
• 流体力学的効果および回転フラックスの存在下での大域的存在および有界性の臨界閾値を解明すること。
• 流体なし系における臨界指数と一致する鋭い条件 $\alpha > \frac{1}{3}$ を提供し、理論における長年の空白を埋めること。

提案手法

• ナビエ-ストークス項の制御および速度場の高次の可積分性を導出するために、最大Sobolev正則性技術を用いる。
• 化学走性およびシグナル方程式の制御のために、自然な勾配類似エネルギー汎関数の変種を採用する。
• Gagliardo-NirenbergおよびHölder不等式を適用して、化学的シグナル $c$ および細胞密度 $n$ の $L^p$ 評価を得る。
• Moser反復および放物型正則性の議論により、$n$, $c$, $u$ に対する $L^\infty$ 評価を高める。
• 一様有界性を保証するため、$\|u\|_{W^{1,\infty}}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}}$, および $\|A^\gamma u\|_{L^2}$ に対する事前推定を実施する。
• 感受性の構造的仮定 $|S(x,n,c)| \leq C_S(1+n)^{-\alpha}$ および $\alpha > \frac{1}{3}$ を用いて、化学走性のドリフトと拡散のバランスを取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 Keller-Segel-Navier-Stokes系にテンソル値感受性を有する場合、大域的存在および有界性を保証する感受性の減衰パラメータ $\alpha$ の最適閾値は何か？
• RQ2 大域的弱解を保証するのと同じ条件下で、大域的古典解が得られるか。また、有界性は達成可能か？
• RQ3 流体の対流 ($\kappa \neq 0$) および回転フラックスの存在が、大域的存在の臨界指数にどのように影響するか？
• RQ4 臨界指数 $\alpha = \frac{1}{3}$ は、流体なし系の閾値と一致するか。また、流体を含む設定において鋭いか？
• RQ5 強力な事前推定が欠如する3次元においても、最大Sobolev正則性とエネルギーに基づく手法を組み合わせることで、有界性を達成できるか？

主な発見

• $\alpha > \frac{1}{3}$ のとき、Keller-Segel(-Navier)-Stokes系の初期境界値問題は、大域的に定義された弱解を有する。これは、流体なし系の臨界指数と一致する意味で最適な条件である。
• $\kappa = 0$ かつ $S(x,n,c) = C_S(1+n)^{-\alpha}$ のとき、$\alpha > \frac{1}{3}$ に対して、$\Omega \times (0,\infty)$ 上で一様に有界な少なくとも1つの大域的古典解が存在する。
• $c$ の $L^p$ 評価は、シグナル方程式に $c^{p-1}$ を代入してテストし、Gagliardo-NirenbergおよびHölder不等式を適用することで得られ、すべての $p > 2$ に対して $L^p$ で一様有界である。
• Moser反復および放物型正則性の議論により、$n$, $c$, $u$ に対する $L^\infty$ 評価が得られ、$\|n\|_{L^\infty}$, $\|c\|_{W^{1,\infty}}$, および $\|u\|_{W^{1,\infty}}$ が時間に一様に有界であることが保証される。
• $\|A^\gamma u\|_{L^2} \leq C$ なる評価が、$\gamma$ を $\alpha$ に依存する形で得られ、速度場に必要な正則性が確認される。
• Wang (2017) が得たのは大域的非常に弱解にとどまっていたが、本稿では同じ最適条件 $\alpha > \frac{1}{3}$ の下で大域的古典的有界解を確立しており、より優れた結果を得た。