[論文レビュー] An optimal transportation approach to the decay of correlations for non-uniformly expanding maps

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、非一様に拡大する写像と多様な正則性を持つポテンシャルに対して、相関関数の指数的減衰を確立するための最適輸送枠組みを導入する。著者らは、ポテンシャルに新たな平坦性条件を導入することで、マルコフ分割や誘導に依存せずに、Ruelle-Perron-Frobenius定理およびスペクトルギャップ結果を証明し、Pomeau-Manneville写像や低正則性拡大写像に対して、これまでの結果を統一的に回復・拡張する。

ABSTRACT

We consider the transfer operators of non-uniformly expanding maps for potentials of various regularity, and show that a specific property of potentials ("flatness") implies a Ruelle-Perron-Frobenius Theorem and a decay of the transfer operator of the same speed than entailed by the constant potential. The method relies neither on Markov partitions nor on inducing, but on functional analysis and duality, through the simplest principles of optimal transportation. As an application, we notably show that for any map of the circle which is expanding outside an arbitrarily flat neutral point, the set of H{\\"o}lder potentials exhibiting a spectral gap is dense in the uniform topology. The method applies in a variety of situation, including Pomeau-Manneville maps with regular enough potentials, or uniformly expanding maps of low regularity with their natural potential; we also recover in a united fashion variants of several previous results.

研究の動機と目的

• 非一様に拡大する写像の転送作用素に対して、より正則性の低いポテンシャルを持つ場合の相関関数の減衰を確立すること。
• 新たな平坦性条件を用いて、一様に拡大する写像やHölder連続ポテンシャルの範囲を超えたスペクトルギャップ結果を一般化すること。
• Pomeau-Manneville写像および低正則性拡大写像に関する相関関数の減衰に関する既存の結果を統一的かつ拡張的に扱うこと。
• マルコフ分割や誘導技術を回避する関数解析的・双対性に基づく手法を提供すること。
• 中立的固定点を有する写像に対して、スペクトルギャップを有するHölderポテンシャルの集合が、一様位相において稠密であることを示すこと。

提案手法

• ポテンシャルの平坦性条件を、連続モジュラスを用いて定義し、スペクトルギャップおよび相関関数の減衰を保証する。
• 双対性と関数解析を用いて、Ruelle-Perron-Frobenius定理を通じて転送作用素とマコフ遷移核を関連付ける。
• 最適輸送理論を用いて、結合を暗黙的に組み合わせ、重み付きマコフ連鎖の収束を制御する。
• 結合論法を用いて、後退的確率ウォークの収縮性を活用し、双対作用素の収束を証明する。
• 一般化された収束基準（補題5.8）を適用し、平坦性条件を介して、重みなし核の減衰速度と重み付き核の減衰速度を結びつける。
• 元のバージョンにおける重大な誤り（補題2.14）を是正するため、結合仮定を変更し、第5.1節で新たな基準を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に拡大する写像の転送作用素がスペクトルギャップを示すためのポテンシャルに関する条件は何か？
• RQ2 マルコフ分割や誘導技術を用いずに、このような写像における相関関数の減衰を確立できるか？
• RQ3 ポテンシャルの正則性および平坦性が、指数的または多項式的減衰の保証において果たす役割は何か？
• RQ4 最適輸送理論を用いることで、相関関数の減衰に関する既存の結果を統一的かつ一般化できるか？
• RQ5 中立的固定点を有する写像に対して、スペクトルギャップを有するポテンシャルの集合は、一様位相において稠密か？

主な発見

• 任意の円周写像について、中立的固定点が任意に平坦である限り、スペクトルギャップを有するHölderポテンシャルの集合は、一様位相において稠密である。
• 連続モジュラスを用いて定義されるポテンシャルの平坦性条件により、定数ポテンシャルの場合と同等の減衰速度が保証される。
• 本手法により、正則なポテンシャルを有するPomeau-Manneville写像に関する、従来の相関関数の減衰結果のバリエーションが回復・統一される。
• 一様に拡大する写像において、$\mathscr{C}^{\beta\log}$-正則性を持つヤコビアンを有する場合、自然なポテンシャル $A = -\log JT$ がスペクトルギャップおよび多項式的減衰をもたらす。
• 修正版の論文により、コア定理（定理4.1）の正当性が保証される。これは、結合仮定の変更と第5.1節における新たな基準の提示によって達成される。
• 本手法により、指数的減衰に加え、多項式的および中間の減衰速度も、ポテンシャルの平坦性および正則性に応じて得られる。