[論文レビュー] An Optimization-Based Atomistic-to-Continuum Coupling Method

Derek Olson, Pavel Bochev+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Block Copolymer Self-Assembly参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重なり領域における原子論的および連続体的変位の不一致を最小化する制約付き最適化問題として定式化することで、最適化に基づく原子論的から連続体的（AtC）結合法を提案する。境界面上の仮想ディリクレ制御を用いて原子論的および連続体的モデルを独立して取り扱うことで、ブレンドを回避し、1次元線形化次近接相互作用モデルにおいて最適収束率を達成する。

ABSTRACT

We present a new optimization-based method for atomistic-to-continuum (AtC) coupling. The main idea is to cast the coupling of the atomistic and continuum models as a constrained optimization problem with virtual Dirichlet controls on the interfaces between the atomistic and continuum subdomains. The optimization objective is to minimize the error between the atomistic and continuum solutions on the overlap between the two subdomains, while the atomistic and continuum force balance equations provide the constraints. Splitting of the atomistic and continuum problems instead of blending them and their subsequent use as constraints in the optimization problem distinguishes our approach from the existing AtC formulations. We present and analyze the method in the context of a one-dimensional chain of atoms modeled using a linearized two-body next-nearest neighbor interactions.

研究の動機と目的

• エネルギーまたは力のブレンドを避けるために、原子論的および連続体的モデルを独立して取り扱う新しいAtC結合手法の開発。
• 制約付き最適化を用いて、重なり領域における原子論的および連続体的解の乖離を最小化すること。
• 人工界面に仮想ディリクレ制御を用いることで、理論的収束性および安定性を確立すること。
• 主な手法の性質が、個々の原子論的および連続体的成分の性質から直接導けるフレームワークを提供すること。
• 1次元線形化2体相互作用モデルにおいて、最適収束率を示すこと。

提案手法

• 本手法は、原子論的および連続体的部分領域間の界面に仮想ディリクレ制御を用いた制約付き最適化問題としてAtC結合を定式化する。
• 目的関数は、重なり領域 Ωₒ における原子論的および連続体的変位の差の ℓ²-ノルムを最小化する。
• 制約条件は、それぞれの原子論的領域 Ωₐ および連続体的領域 Ωᶜ における力のバランスを強制する。
• 本手法は、原子論的および連続体的問題をブレンドするのではなく分離することで、従来のエネルギーまたは力に基づくブレンド手法とは区別される。
• 変位場に基づく変分定式化を用い、境界条件を仮想制御を介して適用することで、適切に定義された問題を保証する。
• 理論的分析は、変位モードの線形系の解法および行列逆行列のノルム推定と幾何級数の評価に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重なり領域における変位不一致を最小化する最適化を用いて、ブレンドを避ける非ブレンド型AtC手法を定式化できるか？
• RQ2 人工界面に仮想ディリクレ制御を用いることで、結合系の安定性および収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 最適化に基づくAtC手法の収束率は、従来のブレンドに基づく定式化と比較してどの程度か？
• RQ4 結合手法の主な性質が、個々の原子論的および連続体的モデルの性質から直接導けるか？
• RQ5 変位解における係数は漸近的スケーリング下でどのように振る舞い、これにより誤差境界にどのような含意が生じるか？

主な発見

• 本手法は、変位誤差の ℓ²-ノルムにおいて最適収束率を達成し、誤差がメッシュサイズに比例する定数倍で有界である。
• 原子論的領域における変位解のノルムは、行列 T_L の逆行列のノルムで有界であり、L→∞ のとき固定行列 T に収束する。
• 重なり領域の誤差推定は、二次形式の固有値に依存し、γ が小さい場合、最小固有値が (1/24)γ² で下から有界である。
• 適切にスケーリングされた場合、収束率は重なり領域のサイズに依存せず、ドメイン分割に対するロバスト性を示す。
• 理論的分析により、本手法の安定性および収束性が、原子論的および連続体的モデルの性質のみから導けることが確認された。
• エネルギーまたは力のブレンドではなく、不一致の最小化により、従来のブレンド型AtC手法に共通する整合性および安定性の問題を回避する。