[論文レビュー] An optimization problem for the first eigenvalue of the $p-$fractional laplacian

Leandro M. Del Pezzo, Julián Fernández Bonder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ポテンシャル $V$ を伴う非局所的 $p$-分数階ラプラシアンの第一固有値の最適化を検討し、第一固有値の存在、正値性、単純性、孤立性を確立する。$V$ に対して $L^q$-ノルム制約を課した場合、第一固有値を最小化または最大化する最適なポテンシャルが存在することを証明し、初めて非局所的非線形設定における古典的結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper we analyze an eigenvalue problem related to the nonlocal $p-$laplace operator plus a potential. After reviewing some elementary properties of the first eigenvalue of these operators (existence, positivity of associated eigenfunctions, simplicity and isolation) we investigate the dependance of the first eigenvalue on the potential function and establish the existence of some {\em optimal} potentials in some admissible classes.

研究の動機と目的

• 非局所的 $p$-分数階ラプラシアンとポテンシャル $V$ を伴う第一固有値の存在および基本的性質（正値性、単純性、孤立性）を確立すること。
• ポテンシャル関数 $V$ が $L^q(\Omega)$ に属する場合、第一固有値が $V$ にどのように依存するかを分析すること。ただし $q > \max\{1, n/(sp)\}$ とする。
• 最適化問題を解くこと：$L^q$-ボール内でのポテンシャル $V$ を特定し、第一固有値を最小化または最大化すること。
• 古典的 $p=2$ および局所的ケースにおける既知の結果を、非局所的・非線形の分数階 $p$-ラプラシアン設定に拡張すること。
• 適切な $V$ の可積分性のもとで、固有関数の正則性結果を提示し、有界性および Hölder 継続性を示すこと。

提案手法

• 弱解を定義するために、分数階ソボレフ空間 $W^{s,p}(\Omega)$ 及びその部分空間 $W_0^{s,p}(\Omega)$ と $\widetilde{W}^{s,p}(\Omega)$ を用いる。
• レイリー商を用いた変分法と直接的最小化により、第一固有値の存在を証明する。
• 非局所性を扱うために、ガリャルド半ノルムおよび主値積分による分数階 $p$-ラプラシアンの定義を適用する。
• 切り上げ技術と反復的 $L^p$-ノルム推定を用いて、固有関数の有界性を証明する。
• 分数階ソボレフ埋め込み定理と Hölder の不等式を用いて、正則性解析におけるノルムを制御する。
• $L^q$ におけるコンパクト性および弱下界半連続性を活用し、$L^q$-ボール内での最適ポテンシャルの存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的 $p$-分数階ラプラシアンとポテンシャル $V$ を伴う第一固有値は存在するか？また、孤立的で単純であるか？
• RQ2 第一固有値は $L^q(\Omega)$ 内のポテンシャル $V$ に対して連続的または単調的に依存するか？
• RQ3 $L^q$-ボール内に存在する最適なポテンシャル $V$ を、第一固有値を最小化または最大化するように特定できるか？
• RQ4 $V \in L^q(\Omega)$ のもとで、第一固有値に対応する固有関数は有界で Hölder 継続的か？
• RQ5 $V \in L^\infty(\Omega)$ のとき、固有関数の正則性および構造的性質は何か？

主な発見

• $q > \max\{1, n/(sp)\}$ を満たす $V \in L^q(\Omega)$ に対して、第一固有値 $\lambda_1$ は存在し、正値であり、単純かつ孤立的である。
• 関連する固有関数は非負であり、$L^\infty(\mathbb{R}^n)$ に属する。有界性は反復的 $L^{pq'}$-ノルム推定により確立される。
• $V \in L^\infty(\Omega)$ のとき、固有関数は $\overline{\Omega}$ 上で Hölder 継続的である。すなわち、ある $\alpha \in (0,1)$ に対して $u \in C^\alpha(\overline{\Omega})$ である。
• 第一固有値は $L^q$-ノルムにおいて $V$ に対して連続的かつ単調であり、$L^q$-ボール上での最適化が可能である。
• $\|V\|_q \leq M$ を満たす $L^q$-ボール内に、第一固有値を極値化する最適なポテンシャルが存在し、非局所的・非線形設定における最適化問題が解かれる。
• すべての結果は線形ケース $p=2$ に対しても新規であり、標準的分数階ラプラシアンおよび $p$-ラプラシアンに関する先行研究を、非局所的 $p$-分数階ケースに拡張する。