[論文レビュー] An Order on Sets of Tilings Corresponding to an Order on Languages

Nathalie Aubrun, Mathieu Sablik|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、因子、部分作用、積などの操作を用いて定義される多次元サブシフトにおける動的順序と、禁止パターンの言語における計算可能性に基づく順序との間の対応関係を確立する。主な貢献は、あるサブシフトが別のサブシフトを動的変換によってシミュレートできるのは、第二のサブシフトの禁止パターン言語が第一のサブシフトのそれよりも計算的に簡約可能である場合に限ることを示す形式的リンクであり、タイリング理論におけるシミュレーション階層を一般化する。

ABSTRACT

Traditionally a tiling is defined with a finite number of finite forbidden patterns. We can generalize this notion considering any set of patterns. Generalized tilings defined in this way can be studied with a dynamical point of view, leading to the notion of subshift. In this article we establish a correspondence between an order on subshifts based on dynamical transformations on them and an order on languages of forbidden patterns based on computability properties.

研究の動機と目的

• 禁止パターンが有限でない一般の集合を考慮することで、タイリング理論を有限の禁止パターンにとどまらない形で一般化すること。
• 因子、部分作用、積などの動的操作を用いて、サブシフト間のシミュレーションの形式的定義を提示すること。
• サブシフト上のシミュレーション関係と、禁止パターン言語における計算可能性に基づく順序との間の対応関係を確立すること。
• 多次元サブシフトが、それらの禁止パターン言語の複雑さに応じて互いにシミュレート可能であることを示すこと。
• 言語の簡約可能性における本質的制限のため、すべての他のサブシフトをシミュレートできる普遍的サブシフトは存在しないことの証明。

提案手法

• 著者たちは、任意の禁止パターンの集合を用いて一般化されたタイリングを定義し、配置空間の閉じた、シフト不変な部分集合としてサブシフトを導出する。
• シミュレーションを形式化するために、積、因子、有限型、部分作用、重ね合わせの5つの動的操作を導入する。
• 重要な構成として、オラクルを備えたチューリングマシンをシミュレートするソフィックサブシフトを用い、高次元における長方形パターンを介して計算を符号化する。
• 証明は、チューリングマシンの計算を4次元サブシフトに埋め込み、オラクルクエリは別のサブシフトの構成により解決されることに依存する。
• サブシフトがシミュレート可能であるのは、その禁止パターン言語がシミュレートするサブシフトのそれよりも計算的に簡約可能である場合に限ることを示すことによって、対応関係を確立する。
• 言語の補集合構成を用いる：あるパターンが言語に含まれない場合、そのターゲットサブシフトに有効な構成が存在し、これによりシミュレーションが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因子や部分作用などの動的操作を用いて、サブシフトが他のサブシフトをシミュレートできるか。その条件は何か？
• RQ2 禁止パターン言語の計算可能性は、サブシフトのシミュレーション階層とどのように関係するか？
• RQ3 すべての他のサブシフトを、考察された操作の下でシミュレートできる普遍的サブシフトは存在するか？
• RQ4 d次元サブシフトを高次元の構成によりシミュレートするために必要な最小次元は何か？
• RQ5 因子と部分作用などの異なる動的操作の組み合わせが、得られるシミュレーション順序にどのように影響するか？

主な発見

• 動的操作によるサブシフトのシミュレーションは、禁止パターン言語の計算可能性に基づく簡約とちょうど一致する。
• 禁止パターン言語が再帰的に可算であるすべてのサブシフトは、次元d+2の有限型サブシフトによってシミュレート可能である。
• シミュレーション階層は、オラクルチューリングマシンにおける禁止パターン言語の簡約可能性によって完全に特徴づけられる。
• 言語の計算可能性階層において、任意の与えられた言語よりも厳密に上位にある言語が存在するため、すべての他のサブシフトをシミュレートできる普遍的サブシフトは存在しない。
• 4次元サブシフトの構成により、オラクルを備えたチューリングマシンをシミュレート可能であり、オラクルクエリは別のサブシフトの構成により解決される。
• あるサブシフトの言語が別のサブシフトの言語に計算的に簡約可能であるのは、そのサブシフトが動的操作の完全な集合を用いてシミュレート可能である場合に限る。