[論文レビュー] An Ordered Approach to Solving Parity Games in Quasi Polynomial Time and Quasi Linear Space

John Fearnley, Sanjay Jain+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Calude らの要約的証拠を後向き、値反復的アプローチに再解釈することで、準多項式時間かつ準線形空間でパリティゲームを解く、新しい進捗測度ベースのアルゴリズムを提示する。主な貢献は、色の数が固定された場合に準双線形時間計算量を達成するより効率的な実装であり、新たな上界を提供するとともに、Friedmannのトラップ例のような特定のベンチマーククラスにおいて、既存のアルゴリズムを上回る性能を発揮している。

ABSTRACT

Parity games play an important role in model checking and synthesis. In their paper, Calude et al. have shown that these games can be solved in quasi-polynomial time. We show that their algorithm can be implemented efficiently: we use their data structure as a progress measure, allowing for a backward implementation instead of a complete unravelling of the game. To achieve this, a number of changes have to be made to their techniques, where the main one is to add power to the antagonistic player that allows for determining her rational move without changing the outcome of the game. We provide a first implementation for a quasi-polynomial algorithm, test it on small examples, and provide a number of side results, including minor algorithmic improvements, a quasi bi-linear complexity in the number of states and edges for a fixed number of colours, and matching lower bounds for the algorithm of Calude et al.

研究の動機と目的

• パリティゲームを解くための Calude らの準多項式時間アルゴリズムの効率的実装を開発すること。
• 元々前向き計算を想定して設計された要約的証拠を、後向き処理に効果的に再利用できることを可能にすること。
• 準線形空間計算量を維持しつつ、準多項式時間性能を保つこと。
• 特に特定のゲームクラスに対して、より実用的かつ最適化された既存のアルゴリズムの代替手段を提供すること。
• 本アルゴリズムのための新たな理論的複雑さの上界と下界を確立すること。

提案手法

• Calude らの前向き移動証拠を、値反復に適した後向き進捗測度に再定式化すること。
• 完全な状態履歴を必要とせずに、ゲームグラフの後向き走査を可能にする修正された進捗測度を導入すること。
• コンactな証拠表現を用いて、後向き値反復プロセスにより勝利戦略を計算すること。
• 後向き処理中にゲームの結果を保つために、対戦相手の合理的な動き選択を変更して適用すること。
• 効率的な実装のため、標準的な色表現を進捗測度に統合すること。
• 証拠更新と反復回数の詳細な解析を通じて、複雑さの上界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calude らの要約的証拠は、パリティゲームにおける後向き・値反復ベースの計算に効果的に再利用可能か？
• RQ2 これらの証拠を用いた後向き進捗測度アルゴリズムの時間的・空間的計算量は何か？
• RQ3 本アルゴリズムは、戦略改善法や再帰的アルゴリズムと比較して、ベンチマークゲーム族においてどの程度の性能を示すか？
• RQ4 特に色の数が固定または対数的である場合に、本アルゴリズムで達成可能な最もタイトな上界は何か？
• RQ5 本アルゴリズムの最悪ケース準多項式時間の上限と一致する下界を確立できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、色の数が固定された場合に、O(mn log(n)c−1) の準双線形時間計算量を達成し、類似アルゴリズムの最良既知の上界と一致する。
• 本アルゴリズムは、a(n) を逆アッカーマン関数とする O(mna(n)log log n) の新たな準双線形FPT上界を提供し、以前の上界を改善している。
• 色の数が多いゲームでは、O(m · h · nc1.45+log2(h)) の上界を達成し、h = ⌈1 + c/log(n)⌉ かつ c1.45 < 1.45 である。
• Friedmannのトラップ例では、古典的な戦略改善法や再帰的アルゴリズムよりも優れた性能を示し、0.01秒未塔で解いている。
• 本アルゴリズムおよび Calude らの元来のアルゴリズムが、準多項式実行時間を達成する最悪ケース例として機能する単一プレイヤーのゲーム族が構成された。
• 実装は再帰的ラダー構造および Friedmannのトラップにおいて優れた性能を示しているが、ランダムゲームでは劣る傾向にあり、クラス依存的な効率性が顕著である。