[論文レビュー] An ordinal index characterizing weak compactness of operators

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間間の有界線形作用素の弱コンパクト性を特徴付けるために、$Σ(A)$ と表記される順序数インデックスを導入する。スレーンク指数にインspiredされており、単位球内の列の凸分離性を用いて定義され、随伴作用素の単位球下でのこのような列の複雑さを測定する。主な結果は、任意の順序数 $ξ$ に対して、クラス $ڢ_{\omega^{\omega^{\xi}}}$ が閉じた作用素イデアルをなすこと、および $ڢ_\omega$ が超弱コンパクト作用素のクラスと一致することである。

ABSTRACT

We introduce an ordinal index which characterizes weak compactness of operators between Banach spaces. We study when classes consisting of operators having bounded index form a closed ideal, the distinctness of the classes, and the descriptive set theoretic properties of this index.

研究の動機と目的

• バナッハ空間間の作用素の弱コンパクト性を特徴付ける新しい順序数インデックスの開発。
• このインデックスの記述的集合論的性質、特に分離可能な空間上での共解析的性質の確立。
• 有界インデックスによって定義されるクラス $\mathscr{J}_\xi$ の構造の調査、特に閉包性と真包含の性質。
• インデックス $\mathcal{J}(A)$ と既知の作用素イデアル（例：超弱コンパクト作用素）との関係の明確化。

提案手法

• インデックス $\mathcal{J}(A)$ は、定義域空間の単位球内の列の木の順序型を用いて定義され、随伴作用素の単位球下での凸分離性に基づく。
• スレーンク指数の枠組みを適応し、双対空間の $w^*$-コンパクトで、対称的かつ凸な部分集合 $K$ を用いて分離条件を定義する。
• 列が $(K,\varepsilon)$-cs であるとは、初期部分列と終末部分列の凸包が $K$ によって誘導されるセミノルムで少なくとも $\varepsilon$ 分離されていることを意味する。
• インデックス $j(K,\varepsilon)$ は、このようなすべての $(K,\varepsilon)$-cs 列の木の順序を表し、$\mathcal{J}(A)$ は $\varepsilon > 0$ のすべての $j(A^*B_{Y^*}, \varepsilon)$ の上限として定義される。
• 木の超限階層的導出を用いて順序 $o(T)$ を定義し、木が非正規である場合 $\mathcal{J}(A) = \infty$ である。
• クラス $\mathscr{J}_{\omega^{\omega^{\xi}}}$ の閉包性の証明は、単調写像の構成と分離性の性質を用いて、インデックスの下界を導出することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スレーンク指数がアスプルンド作用素に対して果たす役割に類似して、バナッハ空間間の作用素の弱コンパクト性を完全に特徴付ける順序数インデックスを定義できるか？
• RQ2 どの順序数 $\xi$ に対して、$\mathcal{J}(A) \leq \xi$ を満たす作用素のクラス $\mathscr{J}_\xi$ が閉じた作用素イデアルとなるか？
• RQ3 インデックス $\mathcal{J}(A)$ と超弱コンパクト作用素のクラスとの正確な関係は何か？
• RQ4 クラス $\mathscr{J}_\xi$ どうしが包含関係および真包含関係においてどのように関係しているか？
• RQ5 インデックス $\mathcal{J}$ は、分離可能なバナッハ空間間の作用素空間上で共解析的ランクであるか？

主な発見

• 任意の順序数 $\xi$ に対して、クラス $\mathscr{J}_{\omega^{\omega^{\xi}}}$ は閉じた作用素イデアルをなす。
• $\mathscr{J}_\omega$ は、すべての超弱コンパクト作用素の集合に正確に一致する。
• 任意の可算順序数 $\xi$ に対して、分離可能な定義域をもつ弱コンパクト作用素 $A$ が存在し、$\mathcal{J}(A) > \xi$ であることが示され、クラスの厳密な階層構造が裏付けられる。
• インデックス $\mathcal{J}$ は、分離可能なバナッハ空間間の作用素空間上で共解析的ランクである。
• すべての順序数 $\xi$ に対して、$\bigcup_{\xi \in \text{Ord}} \mathscr{J}_\xi$ は、すべての弱コンパクト作用素のイデアルに等しい。
• $\mathcal{J}(A) > \omega^{\omega^{\xi}}$ かつ $\mathcal{J}(B) > \omega^{\omega^{\xi}}$ である作用素 $A$ と $B$ に対して、$\mathcal{J}(A+B) > \omega^{\omega^{\xi}}$ が成り立つ。これは、インデックスが強い意味で部分加法的であることを示唆する。