[論文レビュー] An Overlapping Domain Decomposition Preconditioner for the Helmholtz equation

Wei Leng, Lili Ju|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元ヘルムホルツ方程式に対する1段階の重複領域分割プリコンディショナを提案し、高周波数波動問題の完全並列解法を可能にする。xおよびy方向に領域を分割し、PML層を含む局所的サブプロブレムを同時に解くことで、サブドメイン数に比例する反復回数を実現し、大規模並列マシン上でほぼ10億未知数の問題を効率的に解けるスケーラブルな性能を達成する。

ABSTRACT

In this paper, based on the overlapping domain decomposition method (DDM) proposed in \cite{Leng2015}, an one step preconditioner is proposed to solve 2D high frequency Helmholtz equation. The computation domain is decomposed in both $x$ and $y$ directions, and the local solution on each subdomain is updated simultaneously in one iteration, thus there is no sweeping along certain directions. In these ways, the overlapping DDM is similar to the popular DDM for Poisson problem. The one step preconditioner simply take the restricted source on each subdomain, solve the local problems and summarize the local solutions on all subdomains including their PML area. The complexity of solving the problem with the preconditioner is $O(N n_{ ext{iter}})$, where $n_{ ext{iter}}$ is the number of iteration, and it is shown numerically that $n_{ ext{iter}}$ is proportional to the number of subdomains in one direction. 2D Helmholtz problem with nearly a billion unknowns are solved efficiently with the preconditioner on massively parallel machines.

研究の動機と目的

• 高周波数2次元ヘルムホルツ問題のスケーラブルで並列なプリコンディショナを開発し、逐次スイープを回避する。
• 重複領域分割を用いて、最大ほぼ10億未知数の大型ヘルムホルツ問題を効率的に解くことを可能にする。
• 1段階の非スイープ反復法により、周波数や問題サイズに依存しない強固な収束性を維持する。
• マス・マス・ムーシ・モデルや積層媒質を含む複雑な媒質において、大規模並列性を用いてプリコンディショナの有効性を示す。

提案手法

• 計算領域をxおよびy方向の両方で重複領域を有するサブドメインに分割し、方向に依存するスイープなしに完全に並列な更新を可能にする。
• 各サブドメインで制限された源項を伴う局所的ヘルムホルツ問題を解き、プリコンディショナを1段階で構築する。PML領域を解法に組み込む。
• 吸収境界条件として一軸性PMLを用い、xおよびy方向の両方に複素座標の伸びを適用する。
• グローバル解を、重複するPML層の寄与を含む局所解の和として構成し、波動の連続性と吸収を保証する。
• 反復プロセスでは、1ステップで全サブドメインを同時に更新し、従来のDDMの逐次的スイープを回避する。
• 大規模並列マシン上で実装され、局所的問題は独立的かつ非同期に解かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非スイープで重複領域を持つ領域分割法が、高周波数ヘルムホルツ問題に対して強固な収束性を達成できるか。
• RQ2 並列環境下で、反復回数が問題サイズおよびサブドメイン数にどのようにスケーリングするか。
• RQ3 マス・ムーシ・モデルのような複雑な媒質でも、プリコンディショナが効率的かつスケーラブルに保たれるか。
• RQ4 重複領域のサイズが収束性および計算コストに与える影響は何か。
• RQ5 並列アーキテクチャを用いて、ほぼ10億未知数のヘルムホルツ問題を効率的に解けるか。

主な発見

• GMRES反復回数が1方向のサブドメイン数に線形にスケーリングされ、良好なスケーラビリティを示す。
• 定常媒質では、異なる問題サイズにおいても同等のスイープ回数が約7〜10の間で一定であり、周波数に依存しない強健性を示す。
• 積層媒質のテストでは、問題サイズが19,200²未知数にまで拡大しても、同等のスイープ回数が一貫して約9〜11であった。
• 9億7700万未知数のマス・ムーシ・モデルでは、54,150 × 18,050グリッドポイントと4,332プロセッサを用いて、1,123回のGMRES反復で収束した。
• 追加の重複領域なしでは反復あたりの時間コストが顕著に低減されたが、より大きな重複領域は局所的解法時間と総コストを増加させた。
• 本手法は弱スケーラブル性を示し、問題サイズが拡大してもほぼ一定の同等スイープ回数を維持した。これにより、大規模問題に対する強健性が確認された。