[論文レビュー] An Overview of Integral Quadratic Constraints for Delayed Nonlinear and Parameter-Varying Systems

Harald Pfifer, Peter Seiler|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、積分二次制約（IQCs）を用いた非線形および線形パrameter変動（LPV）時変遅れ系のための新しい分析フレームワークを提示する。定数遅れにおける周波数ドメインIQCsとその幾何的解釈を活用し、それを時変遅れへと拡張することで、時間ドメインにおける散逸不等式を定式化し、和の平方（SOS）および半正定値計画法（SDP）を用いた安定性および性能解析を可能にする。非線形およびLPVミリング系のベンチマークにおいて、有効性が示された。

ABSTRACT

A general framework is presented for analyzing the stability and performance of nonlinear and linear parameter varying (LPV) time delayed systems. First, the input/output behavior of the time delay operator is bounded in the frequency domain by integral quadratic constraints (IQCs). A constant delay is a linear, time-invariant system and this leads to a simple, intuitive interpretation for these frequency domain constraints. This simple interpretation is used to derive new IQCs for both constant and varying delays. Second, the performance of nonlinear and LPV delayed systems is bounded using dissipation inequalities that incorporate IQCs. This step makes use of recent results that show, under mild technical conditions, that an IQC has an equivalent representation as a finite-horizon time-domain constraint. Numerical examples are provided to demonstrate the effectiveness of the method for both class of systems.

研究の動機と目的

• 非線形およびLPV時変遅れ系の安定性と性能を分析するための体系的なフレームワークの構築を目的とする。
• 従来、線形時不変（LTI）系に限定されていた積分二次制約（IQC）技術を、非線形およびLPV系の遅れを含むものへと拡張することを目的とする。
• 定数遅れに対するIQCsの幾何的周波数ドメイン解釈を提供し、これに基づいて新たな制約の構築を支援することを目的とする。
• IQCsを組み込んだ時間ドメインにおける散逸不等式を導出することで、非線形およびLPV系の遅れを含む解析を可能とすることを目的とする。
• 非線形およびLPV遅れ系の数値例を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 時変遅れ系を非線形またはLPV系と遅れ演算子のフィードバック相互接続としてモデル化する。
• 定数遅れがLTI系であることに着目し、周波数ドメインにおける積分二次制約（IQCs）を用いて遅れを表現する。
• Nyquist平面上での幾何的直感（例：円に基づく制約）を用いて、定数遅れおよび時変遅れの両方の新しいIQCsを導出する。
• 最近のIQCs同等性に関する結果を活用し、周波数ドメインIQCsを等価な有限区間時間ドメイン積分制約に変換する。
• これらの時間ドメインIQC表現を組み込んだ散逸不等式として、安定性および性能条件を定式化する。
• 得られた解析条件を、非線形系に対しては和の平方（SOS）最適化、LPV系に対しては半正定値計画法（SDP）を用いて解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数遅れに対するIQCsはどのように幾何的に解釈可能であり、その洞察は新たな制約の構築にどのように活用できるか？
• RQ2 非LTI性を示す時変遅れに対しても、周波数ドメインの直感を同じように応用してIQCsを構築できるか？
• RQ3 IQCsはどのように時間ドメインにおける散逸不等式に埋め込まれ、非線形およびLPV系の遅れを含む解析が可能になるか？
• RQ4 非線形遅れ系の性能および安定性マージンは、線形化された対応系と比較してどの程度か？
• RQ5 LPV系の遅れマージン推定に関して、提案手法のIQCsに基づくアプローチは、従来のラプノフ＝クリェロフスキー法と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 定数遅れに対するIQCsの幾何的解釈（Nyquist平面上の周波数依存円）により、直感的かつ緊密な新たな制約の構築が可能となった。
• この周波数ドメインの洞察を基に、定数遅れおよび時変遅れの両方の新しいIQCsが成功裏に導出された。
• 提案手法は、[44]におけるラプノフ＝クリェロフスキー法と比較して、特に乗数ペア $\Pi_1$ と $\bar{\Pi}_3$ を用いる場合、LPVミリング系に対してより緊密な遅れマージン境界を達成した。
• 数値結果から、非線形性が系の性能を顕著に低下させることを示し、非線形遅れ系は線形化された対応系と比較してはるかに高い誘導 $L_2$ ゲインを示した。
• LMI条件（定理3）によるIQCsに基づく解析は、線形系の真の誘導 $L_2$ ゲインとよく一致しており、上界の妥当性が検証された。
• 本フレームワークは、複数の遅れおよび不確実性を含む系へも拡張可能であり、ロバストネス解析を非線形およびLPVダイナミクスと自然に統合する道筋を提供する。