[論文レビュー] An SDE approximation for stochastic differential delay equations with colored state-dependent noise

Austin McDaniel, Özer Duman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

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ひとこと要約

本稿では、色付きで状態に依存するノイズを有する多次元確率的遅れ付き確率微分方程式（SDDE）のための確率的微分方程式（SDE）近似を提案する。時間遅れとノイズ相関時間の両方がゼロに近づく極限において、KurtzとProtterの確率積分収束に関する定理を用いて、厳密なSDE近似を確立し、遅れと相関を持つノイズ応答を有する実システムの簡略化されたモデリングを可能にする。

ABSTRACT

We consider a general multidimensional stochastic differential delay equation (SDDE) with colored state-dependent noises. We approximate it by a stochastic differential equation (SDE) system and calculate its limit as the time delays and the correlation times of the noises go to zero. The main result is proven using a theorem about convergence of stochastic integrals by Kurtz and Protter. It formalizes and extends a result that has been obtained in the analysis of a noisy electrical circuit with delayed state-dependent noise, and may be used as a working SDE approximation of an SDDE modeling a real system, where noises are correlated in time and whose response to noise sources is delayed.

研究の動機と目的

• 遅れ付きで状態に依存するノイズを有するノイズの強い電気回路で観察された従来の近似を形式化し、拡張すること。
• 一般の多次元SDDEに適用可能な、色付きノイズを有するSDEに基づく厳密な近似を提供すること。
• 時間遅れと同時に時間的に相関するノイズを有する実システムの実用的モデリングを可能にすること。
• 遅れと相関時間の両方が消える極限において、SDDE系がSDEに収束することを、高度な確率解析を用いて確立すること。

提案手法

• 研究では、KurtzとProtterの確率積分収束に関する定理を用いて、SDDEの極限的挙動を分析する。
• 時間的相関を表現するために、色付きノイズを統合されたオーナシュー＝ウーレンボルグ過程としてモデル化する。
• 状態変数における時間遅れは、極限解析において徐々にゼロに減少させる。
• 状態に依存するノイズは、過去の状態に依存する一般の関数形を用いて取り扱う。
• 適切なモーメントおよび正則性条件の下で、解過程の収束は法則の意味で確立される。
• 得られたSDE近似は、極限において元のSDDEの本質的ダイナミクスを保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れと相関時間の両方がゼロに近づく極限において、色付きで状態に依存するノイズを有する確率的遅れ付き微分方程式（SDDE）は、どのように標準的なSDEに近似できるか？
• RQ2 このような極限において、SDDEの解がSDEの解に収束することを保証する数学的条件は何か？
• RQ3 SDE近似は、遅れと相関を持つノイズを有する元のSDDEの統計的およびダイナミカルな挙動をどの意味で保持するか？
• RQ4 確率積分の収束定理などの既存の確率解析ツールを用いて、この近似は厳密に正当化可能か？
• RQ5 この近似は、遅れフィードバックと色付きノイズを有する実物理システムのモデリングにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 時間遅れとノイズ相関時間の両方がゼロに近づく極限において、SDDEの解は法則の意味でSDEの解に収束する。
• 収束は、KurtzとProtterによる確率積分収束に関する定理を用いて確立され、厳密な基礎を提供する。
• 得られたSDE近似は、極限条件下で元のシステムの本質的ダイナミクスを捉えている。
• この手法は、状態に依存するノイズを有する一般の多次元系に適用可能であり、電気回路などの特定応用分野における先行研究を拡張する。
• この近似により、遅れと相関を持つノイズを有する複雑なシステムの解析とシミュレーションが簡略化可能であり、本質的な統計的特徴を損なわずに行える。