[論文レビュー] An SDP Approach For Solving Quadratic Fractional Programming Problems

Van-Bong Nguyen, Ruey-Lin Sheu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二重の二次的制約を伴う二次分数プログラミング問題を解くための、新たな半定値計画（SDP）緩和手法を提案する。反復的Dinkelbach法を回避する。制約適合性条件下で等式を伴うS-補題の新バージョンを証明することで、最適パラメータ$ \lambda^*$を正確なSDP緩和により直接計算可能とし、双対 Slater 条件や正定値行列ペンシルの仮定を必要としない効率的なグローバル解法を実現する。

ABSTRACT

This paper considers a fractional programming problem (P) which minimizes a ratio of quadratic functions subject to a two-sided quadratic constraint. As is well-known, the fractional objective function can be replaced by a parametric family of quadratic functions, which makes (P) highly related to, but more difficult than a single quadratic programming problem subject to a similar constraint set. The task is to find the optimal parameter $λ^*$ and then look for the optimal solution if $λ^*$ is attained. Contrasted with the classical Dinkelbach method that iterates over the parameter, we propose a suitable constraint qualification under which a new version of the S-lemma with an equality can be proved so as to compute $λ^*$ directly via an exact SDP relaxation. When the constraint set of (P) is degenerated to become an one-sided inequality, the same SDP approach can be applied to solve (P) {\it without any condition}. We observe that the difference between a two-sided problem and an one-sided problem lies in the fact that the S-lemma with an equality does not have a natural Slater point to hold, which makes the former essentially more difficult than the latter. This work does not, either, assume the existence of a positive-definite linear combination of the quadratic terms (also known as the dual Slater condition, or a positive-definite matrix pencil), our result thus provides a novel extension to the so-called "hard case" of the generalized trust region subproblem subject to the upper and the lower level set of a quadratic function.

研究の動機と目的

• 二重の二次的制約を伴う二次分数プログラミング問題を解く古典的Dinkelbach法の計算非効率性を是正すること。
• 一般化された信頼領域部分問題の「ハードケース」において制限を受ける既存手法を制限する双対 Slater 条件（正定値行列ペンシル）の必要性を排除すること。
• 反復的精錬を必要としない、最適パラメータ$\lambda^*$を直接計算するSDPベースの手法を確立すること。
• 新しい制約適合性条件下で等式を伴うS-補題の新バージョンを確立し、分数問題における正確なSDP緩和を可能にすること。
• 標準的仮定が成立しない「ハードケース」における二次分数プログラミング問題にまでSDP手法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• Dinkelbach変換を用いて分数問題（P）をパラメトリック部分問題$(P)_\lambda$に再定式化し、$f_1(x) - \lambda f_2(x)$を集合$X$上での最小化問題に変換する。
• 等式を伴う一般化されたS-補題が証明可能な新たな制約適合性条件を導入し、正確なSDP緩和を可能にする。
• 半定値緩和を用いて、反復的$\lambda$更新を回避するため、単一のSDPを解くことで最適$\lambda^*$を直接計算する。
• 制約集合が片側不等式に退化する場合、追加条件なしにSDP手法が適用可能であることを示す。
• $A_2$と$B$の合同による同時対角化（SDC）を活用し、問題の定義域および有界性を分析する。
• S-補題を適用して、問題の定義域を特徴付ける行列不等式条件（62）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次分数プログラミング問題における最適パラメータ$\lambda^*$は、反復的精錬を経ずに直接計算可能か？
• RQ2 二重制約を伴う一般化された信頼領域部分問題を解く際、双対 Slater 条件（正定値行列ペンシル）を回避することは可能か？
• RQ3 どのような制約適合性条件が、正確なSDP緩和を可能にする等式付きS-補題の新バージョンを可能にするか？
• RQ4 二重制約集合の存在が、片側制約と比較して二次分数プログラミング問題の可解性およびデュアルギャップに与える影響は何か？
• RQ5 SDC や双対 Slater 条件を仮定せず、計算可能な行列不等式条件によって分数問題の定義域を特徴付けることは可能か？

主な発見

• 提案されたSDP手法により、反復的Dinkelbach更新を不要とし、正確な緩和により$\lambda^*$を直接計算可能となり、計算効率が向上する。
• 新規の制約適合性条件下で、等式を伴うS-補題の新バージョンが証明され、自然な Slater 点が存在しない場合でも正確なSDP緩和が可能となる。
• 制約集合が片側不等式に退化する場合、いかなる条件も必要とせず本手法が適用可能であり、従来の手法よりも一般性が向上する。
• 問題の定義域は、計算可能な行列不等式（62）によって特徴付けられ、仮定Cよりも一般である。双対 Slater 条件を必要としない。
• 本手法は、正定値行列ペンシルの存在を仮定せず、一般化された信頼領域部分問題の「ハードケース」を効果的に処理できる。
• 理論的結果により、$A_2$と$B$のSDCが成立する場合、問題（61）は到達可能または下に無限大に発散するため、可解性条件が明確に定義される。