[論文レビュー] An SO(3)-version of 2-torsion instanton invariants

Hirofumi Sasahira|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非スピン4次元多様体のためのFintushel-Sternの2 torsionインスタントン不変量のSO(3)版を、インスタントンのSO(3)モジュライ空間上の2 torsionコホモロジー類を用いて構成する。この不変量は、正のスカラー曲率によりすべてのSeiberg-Wittenおよび標準的ドナルドソン不変量が消える $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ においても非自明であることを示し、古典的な消去定理では到達できない新たな微分位相的不変量を提示する。

ABSTRACT

We construct an invariant for non-spin 4-manifolds by using 2-torsion cohomology classes of moduli spaces of instantons on SO(3)-bundles. The invariant is an SO(3)-version of Fintushel-Stern's 2-torsion instanton invariant. We show that this SO(3)-torsion invariant is non-trivial for $2CP^2 # -CP^2$, while it is known that any known invariant of $2CP^2 # -CP^2$ coming from the Seiberg-Witten theory is trivial since $2CP^2 # -CP^2$ has a positive scalar curvature metric.

研究の動機と目的

• Fintushel-Sternの2 torsionインスタントン不変量をSO(3) bundleを用いて非スピン4次元多様体に拡張すること。
• SO(3)モジュライ空間の2 torsionコホモロジー類に基づく微分位相的不変量を定義すること。
• 正のスカラー曲率により標準的不変量が消えるにもかかわらず、この不変量が非自明であることを示すこと。
• 連結和におけるドナルドソン理論で用いられる次元数え上げ論法の限界を乗り越えること。

提案手法

• 非スピン4次元多様体 $X$ 上に $w_2(P) = w_2(X)$ かつ $p_1(P) \equiv \sigma(X) \mod 8$ を満たすSO(3) bundle $P$ を定義する。
• 第一モジュライ空間コホモロジー $H^1(\mathcal{B}_P^*; \mathbb{Z}_2)$ の生成子 $u_1$ を $\mathbb{Z}_2$ 係数で定義する。
• 偶数自己交叉を持つホモロジー類 $[\Sigma] \in H_2(X; \mathbb{Z})$ に対して、整数係数コホモロジー類 $\mu([\Sigma]) \in H^2(\mathcal{B}_P^*; \mathbb{Z})$ を定義する。
• 奇数次元のモジュライ空間に対して、ペアリング $q_X^{u_1}([\Sigma_1], \dots, [\Sigma_d]) = \langle u_1 \cup \mu([\Sigma_1]) \cup \cdots \cup \mu([\Sigma_d]), [M_P] \rangle \in \mathbb{Z}_2$ を定義する。
• Fintushel-Sternの結果に類似した $Y\#S^2\times S^2$ におけるグリューニング公式を証明し、連結和における計算を可能にする。
• Kotschickの計算とグリューニング公式を用いて、$2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ における不変量の非自明性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(3)ゲージ理論を用いて、非スピン4次元多様体に対して2 torsionインスタントン不変量を定義できるか？
• RQ2 正のスカラー曲率によりSeiberg-Witten不変量が消える多様体に対しても、このSO(3)版不変量は非自明のままであるか？
• RQ3 標準的次元数え上げ論法が、$2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ のような連結和において、この不変量の消滅を示さないのはなぜか？
• RQ4 Fintushel-Sternの結果に類似した、この不変量に対する連結和におけるグリューニング公式は存在するか？
• RQ5 他の不変量が自明であるにもかかわらず、この不変量は $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ の滑らかさ構造を検出できるか？

主な発見

• 不変量 $q_{2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2}^{u_1}$ は2を法として非自明であり、特に $q^{u_1}_{\frac{7}{4},w,2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2}(-H_1+E, H_2-E) \equiv 1 \mod 2$ である。
• $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ における不変量の非自明性は、グリューニング公式とKotschickの計算を用いて確立されているが、この多様体は正のスカラー曲率計量をもつにもかかわらず、その事実は不変量の非自明性に影響しない。
• 標準的次元数え上げ論法が消滅を示さないのは、関係するホモロジー類が、$Y_1 = \mathbb{CP}^2$ と $Y_2 = \mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ の和に収束させることができず、偶数自己交叉条件に反するためである。
• すべての既知のSeiberg-Witten不変量が $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ で消えるにもかかわらず、この不変量は非自明であるため、滑らかな4次元多様体不変量の新たな源を示している。
• この不変量は、ホモロジー類の和に沿った単純な加法的グリューニング公式を満たさない。なぜなら、必要な類は奇数自己交叉をもち、したがって不変量を定義しないからである。
• この構成により、$u_1$類と $\mu([\Sigma])$ 類が、通常のドナルドソン不変量が消えるにもかかわらず、モジュライ空間における非自明な位相を検出できることを示している。