[論文レビュー] An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion

Ben Hambly, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ゼロでの吸収（デフォルト）を伴う拡散の平均場相互作用を通じて、内生的連鎖的伝播を組み込んだ非線形確率偏微分方程式（SPDE）モデルを、大規模金融システムにおけるシステミックリスクのモデル化に提案する。モデルは、ディリクレ型境界条件を伴う非線形SPDEとして、デフォルトのクラスタリングを捉え、存在および一意性を示すために、新たなヒートカーネル推定を確立する。

ABSTRACT

We propose a dynamic mean field model for `systemic risk' in large financial systems, which we derive from a system of interacting diffusions on the positive half-line with an absorbing boundary at the origin. These diffusions represent the distances-to-default of financial institutions and absorption at zero corresponds to default. As a way of modelling correlated exposures and herd behaviour, we consider a common source of noise and a form of mean-reversion in the drift. Moreover, we introduce an endogenous contagion mechanism whereby the default of one institution can cause a drop in the distances-to-default of the other institutions. In this way, we aim to capture key `system-wide' effects on risk. The resulting mean field limit is characterized uniquely by a nonlinear SPDE on the half-line with a Dirichlet boundary condition. The density of this SPDE gives the conditional law of a non-standard `conditional' McKean--Vlasov diffusion, for which we provide a novel upper Dirichlet heat kernel type estimate that is essential to the proofs. Depending on the realizations of the common noise and the rate of mean reversion, the SPDE can exhibit rapid accelerations in the loss of mass at the boundary. In other words, the contagion mechanism can give rise to periods of significant systemic default clustering.

研究の動機と目的

• 金融機関の相互作用を組み込んだ内生的連鎖的伝播、共通ショック、群衆行動を含む、大規模金融システムにおけるシステミックリスクのモデル化を目的とする。
• 金融危機時に観察される非線形フィードバック効果を捉える動的平均場モデルの開発を目的とする。
• ゼロでの吸収（デフォルト）を伴う相互作用する拡散過程の巨大系の極限挙動を、非線形SPDEとして特徴付けることを目的とする。
• 新規の上側ディリクレ型ヒートカーネル推定を用いて、平均場極限の厳密な数学的基盤を確立することを目的とする。
• モデルが、内生的連鎖的伝播メカニズムによって、急速かつクラスタリングされたデフォルトイベントを示す可能性を示すこと

提案手法

• 金融機関を正の半直線上の拡散過程としてモデル化し、デフォルトまでの距離を表す。ゼロでの吸収はデフォルトを示す。
• システミックショックをモデル化するための共通ノイズ過程を導入し、群衆行動を捉えるために回帰運動型のドリフトを導入する。
• ある機関のデフォルトが他の機関のデフォルトまでの距離に下向きのジャンプを引き起こす、内生的連鎖的伝播メカニズムを実装する。
• ゼロにおけるディリクレ境界条件を伴う半直線上の非線形SPDEとして、平均場極限を導出する。
• スケール変換（Upsilon写像）を用いて、最初の通過時刻の挙動を分析し、変換された過程におけるドリフトを制御する。
• 収束性および一意性を証明するために不可欠な、条件付きMcKean–Vlasov拡散過程に対する新規の上側ディリクレ型ヒートカーネル推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模金融システムにおける相互作用する機関を対象とした、内生的連鎖的伝播を形式的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 ゼロでの吸収と内生的デフォルト連鎖的伝播を伴う、相互作用する拡散過程の系の平均場極限は何か？
• RQ3 得られたSPDEモデルは、システミック危機に特徴的な、急速かつクラスタリングされたデフォルトイベントを示せるか？
• RQ4 平均場極限の存在および一意性を厳密に確立するために必要な数学的道具は何か？
• RQ5 共通ノイズと回帰運動の存在が、内生的連鎖的伝播とどのように作用し合い、システミックリスクダイナミクスを生み出すか？

主な発見

• 相互作用粒子系の平均場極限は、ゼロにおけるディリクレ境界条件を伴う半直線上の非線形SPDEとして一意に特徴付けられる。
• 共通ノイズと回帰運動の特定の実現において、境界での質量の急速な消失が観察され、これはシステミックデフォルトのクラスタリングを示唆する。
• 条件付きMcKean–Vlasov拡散過程に対する新規の上側ディリクレ型ヒートカーネル推定が導出され、収束性および一意性の証明に不可欠である。
• あるデフォルトが他の機関のデフォルトまでの距離を引き下げる構造的メカニズムを通じて、内生的連鎖的伝播が捉えられる。
• 大数の法則の議論とタイトネス推定を用いて、有限系から平均場極限への収束が確立される。
• モデルは、大規模な外部ショックがなくても、フィードバックメカニズムから内生的にシステミックリスクが生じ得ることを示している。