[論文レビュー] An undecidable case of lineability in R^R

José L. Gámez-Merino, Juan B. Seoane‐Sepúlveda|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ZFC集合論において、ℝ^ℝにおけるSierpiński-Zygmund関数の集合の最大線形性（具体的には2^𝔠-線形性）が、決定不能であることを確立している。著者たちは、𝔠における2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族の存在と、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強い代数的構造性との間の同値性を示し、この性質が標準公理から証明されもせず反証されもしないことを示している。これは、線形性および空間性の理論における決定不能性に関する最初の結果である。

ABSTRACT

Recently it has been proved that, assuming that there is an almost disjoint family of cardinality (2^{\mathfrak c}) in (\mathfrak c) (which is assured, for instance, by either Martin's Axiom, or CH, or even $2^{

研究の動機と目的

• ℝ^ℝにおけるSierpiński-Zygmund関数の集合の最大線形性（2^𝔠-線形性）がZFC内ですでに決定可能かどうかを特定すること。
• Sierpiński-Zygmundクラスが2^𝔠-強く代数的構造的であるような集合論的条件を調査すること。
• 𝔠における2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族の存在と、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強い代数的構造性との同値性を確立すること。
• Sierpiński-Zygmund関数の2^𝔠-線形性がZFCに独立していることを示し、これにより線形性理論における最初の既知の決定不能な文が得られること。

提案手法

• 著者たちは、特にℵ₀にℵ₂、ℵ₁にℵ₄を割り当てるインデックス関数を用いたEaston forcingを用いて、2^𝔠 = ℵ₄であるZFCのモデルを構成する。
• GCHの下で、ℵ₄ → (ℵ₃)_{ℵ₂}² の形をとるErdős-Rado分割定理を適用し、ℵ₂における大きさℵ₄のほとんど互いに素な族の存在から矛盾を導出する。
• このモデルにおいて𝔠内に2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族が存在しないことを示すことにより、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-線形性がZFCで証明できないことを証明する。
• 先行研究（BGPS_PAMS、定理2.6）の結果を用いて、𝔠における2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族の存在と、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強い代数的構造性との論理的同値性を確立する。
• 強制法のポセットのℵ₂-cc性およびℙ名の使用により、一般化拡大を形式化し、互いに素な条件を強制する。
• 集合論的独立性技法と、Sierpiński-Zygmund関数の構造的性質（特に、任意のサイズ𝔠の集合上で連続でないという性質）を組み合わせた議論を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sierpiński-Zygmund関数の2^𝔠-線形性は、ZFC集合論内ですでに決定可能か？
• RQ2 Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強く代数的構造的であるような集合論的条件は何か？
• RQ3 𝔠における2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な集合族の存在は、Sierpiński-Zygmund関数の最大代数的構造性を特徴づけることができるか？
• RQ4 Sierpiński-Zygmund関数の2^𝔠-線形性はZFCに独立しており、線形性理論における最初の決定不能な文であるか？
• RQ5 𝔠におけるこのようなほとんど互いに素な集合族の存在は、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強く代数的構造的であることを示唆するか、あるいは含意するか？

主な発見

• ℝ^ℝにおけるSierpiński-Zygmund関数の集合の2^𝔠-線形性はZFCに独立しており、これは標準的集合論公理から証明されもせず反証されもしないことを意味する。
• 𝔠における2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族の存在は、Sierpiński-Zygmundクラスの2^𝔠-強い代数的構造性と論理的に同値である。
• Easton強制法による一般化拡張では、𝔠内に2^𝔠の大きさのほとんど互いに素な族が存在しないため、Sierpiński-Zygmund関数の2^𝔠-線形性がZFCで証明できないことが示される。
• 本論文は、Sierpiński-Zygmund関数の2^𝔠-線形性が決定不能であることを確立し、線形性および空間性の理論における最初のこのような結果をもたらしている。
• Erdős-Rado分割定理を用いて、ℵ₂における大きなほとんど互いに素な族の存在から矛盾を導出し、特定のZFCモデルにおいてこのような族が存在できないことを示している。
• この結果は、Sierpiński-Zygmundクラスの最大線形性が、CH、Martinの公理、2^{<𝔠} = 𝔠といった標準的集合論的仮定の結果ではないことが示されている。むしろ、独立した文である。